21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系.pptx

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的一般形式是什么？2.一元二次方程的求根公式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？4、求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2x2-5x+6=0①(x-2)(x-3)=0②(x+4)(x-7)=0x2-3x-28=0③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0④(x+5)(x+2)=0x2+7x+10=0问题1：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？x1 ?x2=解得：x1=所以得到,x1+x2=x2=1新课讲解如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2那么有x1+ x2=-p, x1 ?x2=q猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系猜想：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？填写下表：已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。求证：推导: 如果一元二次方程的两个根分别是 、 ，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。一元二次方程的根与系数的关系 16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。 口答下列方程的两根之和与两根之积。1.2.3.4.5.练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？返回是方程 例1：已知的两个实数根，求的值。解：根据根与系数的关系:解：设方程的两个根是x1x2，那么例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和返回运用根与系数的关系解题类型例1. 不解方程，求方程 的两根的平方和、倒数和。（解法如上）用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.例如：已知方程x2＝2x＋1的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值。（1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23 （3）1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____。2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 X1+X2 = ___,X1X2 = ____， X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___ ( X1-X2)2 = ( ___ )2 - 4X1X2 = ___ 3、判断正误： 以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （ ）4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 _____ 。基础练习-3412X1X21412X1+X2×2和-1 例2： 已知方程 的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程 的两个根 分别是 、 ，其中 。 所以： 即： 由于 得：k=-7 答：方程的另一个根是 ，k=-7例3：已知方程　　　　　　　　的两个实数根 是　且　 求k的值。 解：由根与系数的关系得 X1+X2=-k， X1×X2=k+2 又 X12+ X2 2 = 4 即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 K2- 2(k+2）=4 K2-2k-8=0 解得：k=4 或k=－2∵ △= K2-4k-8当k=4时， △＜0当k=-2时，△＞0∴ k=-2例4：方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围。解:由已知,△={{m0m-10即∴0m1两个负根一正根，一负根两个正根{{{△≥0X1X2＞0X1+X2＞0△≥0X1X2＞0X1+X2＜0△＞0X1X2＜0总结规律：两根均为负的条件： X1+X2 且X1X2 。 两根均为正的条件： X1+X2 且X1X2 。 两根一正一负的条件： X1+X2 且X1X2 。 当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 。即： 练习：方程x2?(m?1)x?2m?1?0求m满