9.3.4函数的性质—函数的单调性.doc

课 题：3.4 函数的性质—函数的单调性 教学目的： (1)了解单调函数、单调区间的概念:能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思 (2)理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间 (3)掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性 教学重点：函数的单调性的概念； 教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学过程： 一、复习引入： ⒈ 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象. 的图象如图1，的图象如图2. ⒉ 引入：从函数的图象（图1）看到： 图象在轴的右侧部分是上升的，也就是说，当在区间[0，+)上取值时，随着的增大,相应的值也随着增大，即如果取∈[0，+)，得到=,=,那么当时，有.这时我们就说函数==在[0,+ )上是增函数. 图象在轴的左侧部分是下降的，也就是说，当在区间（-，0）上取值时，随着的增大，相应的值反而随着减小，即如果取∈（-，0），得到=,=,那么当时，有.这时我们就说函数==在(-,0)上是减函数. 函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的. 二、讲解新课： ⒈ 增函数与减函数 定义：对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，⑴若当时，都有,则说在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当时，都有,则说在这个区间上是减函数（如图4）. .有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数（图1），当∈[0,+)时是增函数，当∈(-,0)时是减函数. ⒉ 单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集； ⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在那样的特定位置上，虽然使得，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数； ⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“或, ”改为“ 或,”即可； ⑷定义的内涵与外延： 内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减. ②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数. 三、讲解例题： 例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数. 解：函数的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数. 说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点. 例2 证明函数在R上是增函数. 证明：设是R上的任意两个实数，且，则 －=(3+2)-(3+2)=3(－), 由x,得－0 ,于是 －0,即 .∴在R上是增函数. 例3 证明函数在(0,+)上是减函数. 证明：设,是(0,+)上的任意两个实数，且， 则－=－=, 由,∈(0,+ )，得0, 又由,得－0 ,于是－0,即 ∴在(0,+ )上是减函数. 例4．讨论函数在(-2,2)内的单调性. 解：∵，对称轴 ∴若,则在(-2,2)内是增函数； 若则在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数 若,则在(-2,2)内是减函数. 四、练习： 1.判断函数在R上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 解：设,∈R，且，∵－=(-3+2)-(-3+2)=3(-), 又,∴－0,即 .∴在R上是减函数. 2.判断函数=在(-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设,∈(-，0)，且，∵－=－==, 由,∈(-，0)，得0,又由,得－0 ,于是－0,即 .∴=在(0,+ )上是减函数. 能否说函数=在(-,+)上是减函数?答:不能.因为=0不属于=的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办