垂径定理-精要.ppt

3.3垂径定理 新 课 导 入 问题：你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？ 性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴. 知 识 讲 解 观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC， AE＝BE AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！ 例1：如图，已知在圆O中，弦AB的 长为8㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝， 求圆O的半径。 E O A B 例 题 解：根据题意得， AE=4cm OE⊥AB OE=3cm 在Rt△OEA中，根据勾股定理得 AO2=OE2+AE2=32+42=25 AO=5cm 变式1：AC、BD有什么关系？ 变式2：AC＝BD依然成立吗？ 变式3：EA＝____, EC=_____. FD FB 变式4：______AC=BD. OA=OB 变式5：______AC=BD. OC=OD 如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径. M P B O 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线. 跟踪训练 解析：提示作OM 垂直于PB ，连接OA. A 答案： 题设 结论 ①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB ③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB 想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？ ① ③ ②④⑤ ② ③ ① ④⑤ ① ④ ②③⑤ ②④ ① ③ ⑤ ①②⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ ③④ ③⑤ 画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论. （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧.