垂径定理课件PPT精要.ppt

赵州石拱桥 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m). 应用垂径定理的书写步骤 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. 引申定理 定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式： 一条直线具有： 垂径定理的推论 如图,在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. 垂径定理及推论 弦心距：过一个圆的圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫做弦心距 3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。 * * 垂直于弦的直径 ———（垂径定理） 实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 圆是轴对称图形， 判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） X 任何一条直径所在的直线都是对称轴。 如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E． （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？ · O A B C D E 思考 （1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴 （2） 线段： AE=BE ⌒ ⌒ 弧：ＡＣ＝ＢＣ　，ＡＤ＝ＢＤ ⌒ ⌒ C A E B O . D 总结： 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦对的两条弧。 CD为⊙O的直径 CD⊥AB 条件 结论 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AE=BE AC=BC AD=BD ●O A B C D M└ CD⊥AB, ∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD =BD. 平分弦 经过圆心 垂直于弦 可推得 平分弦所对的劣（优）弧 E O A B D C E A B C D E O A B D C E O A B C E O C D A B 练习1 O B A E D 在下列图形，符合垂径定理的条件吗？ O 判断下列图形，能否使用垂径定理？ 注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！ · A B C D E · Ｏ Ｏ A B D C 条件 CD为直径 结论　 AC=BC ⌒ ⌒ AD=BD ⌒ ⌒ CD⊥AB CD⊥AB AE=BE 平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． （不是直径） 垂径定理的推论1: CD⊥AB吗？ (E) “知二推三” (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 注意:当具备了(1)(3)时,应对另一 条弦增加”不是直径”的限制. 你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的! ●O A B C D M└ ① CD是直径, ③ AM=BM, ② CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ●O A B C D M└ ①②③ ④⑤ ①②④ ③⑤ ①②⑤ ③④ ①③④ ②⑤ ①③⑤ ②④ ①④⑤ ②③ ②③④ ①⑤ ②③⑤ ①④ ②④⑤ ①③ ③④⑤ ①② 命题 结论 条件 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. 一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。 ? ? ? A B C D O (1) A B C D ?O (2) A B C D ?O (3) (4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。 （5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。 ? ? ? A B C ?O (4) A B C D ?O (5) A B C D ?O (6) E （7）平分弦的直径垂直于弦 ? 如图：圆O中，AB是圆O中的一条弦，其中OC⊥AB 圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表