垂径定理黄屯版精要.ppt

* * O 垂径定理 黄屯初四 圆的对称性 圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题. 圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法即可解决这个问题. 求证：AE=BE ●O A B C D E ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD 垂径定理 ： 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧。 AB是⊙O的一条弦，作直径CD,使CD⊥AB,垂足为E。 ∟ ： 探索思考 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧. 老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. AB是⊙O的一条弦,且AE=BE。过点E作直径CD. ●O C D E A B 垂径定理的逆定理： 平分弦 的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧。 探索思考 CD⊥AB ⌒ ⌒ AC=BC, ⌒ ⌒ AD=BD ∟ 求证 （不是直径） 1、如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形． D · O A B C E 练习 2、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？ . A C D B O E 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE。 ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD ∟ 练习 如图,在下列五个条件中: 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论. ①CD是直径, ③AE=BE, ②CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. A B C D └ O E 条件 结论 命题 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧. 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦. ①CD是直径, ③AM=BM, ②CD⊥AB, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ①② ③④⑤ ①③ ②④⑤ ①④ ②③⑤ ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 3、判断下列说法的正误 ①平分弧的直径必平分弧所对的弦 　②平分弦的直径必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④弦的垂直平分线是圆的直径 ⑤平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑥在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧 ⑦分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分 练习 非直径的弦 非直径的弦 例2、如图，⊙O的半径为5cm，弦AB为6cm，求圆心O到弦AB的距离。 O B A E ∟ 变式1、如图，弦AB为6cm，圆心O到弦AB的距离为4，求⊙O的半径。 变式2、延长OE交圆与F，若EF=1，弦AB为6cm，求⊙O的半径。 问题解决1、赵州桥建于1400年前的隋朝，是我国石拱桥中的代表性桥梁,桥的下部呈圆弧形,桥的跨度(弧所对的弦长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，求桥所在圆的半径。（结果精确到0.1m） 问题解决2 1、在直径是20cm的⊙O中， ∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是　　　　　. 3、弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为　　　　　　. 4、已知P为O内一点，且OP=2cm，如果O的半径是4cm，那么过P点的最短的弦等于 。 2、在半径为30㎜的⊙O中，弦AB=36㎜，则O到AB的距离是= ，∠OAB的余弦值= 。 24mm 0.6 O A B D 小结与思考 收获？疑惑? 例1、在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些 油后，油面宽AB = 600mm，求油的最大深度. B A O D C D C └ └ 3、如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。 练习 ∟ F 例2、如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.