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(教师版)数学中的常见思想和方法-分类讨论解读
(教师)数学解题中的常见思想和方法之—分类讨论与特殊一般
第一部分:分类讨论
明确分类讨论的依据(注意审题,概念等)
【例1】函数f(x)=sin?πx2?,-1x0,ex-1,x≥0,)若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为____________.
解析 f(1)=e0=1,即f(1)=1.当a≥0时,f(a)=1=ea-1,∴a=1.
当-1a0时,f(a)=sin(πa2)=1,∴πa2=2kπ+π2(k∈Z).∴a2=2k+12(k∈Z),k只取0,此时a2=12.∵-1a0,∴a=-2)2.
【例2】已知数列{an}的前n项和Sn=pn-1(p是常数),则数列{an}是 ( )
A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对
解析 ∵Sn=pn-1,∴a1=p-1,an=Sn-Sn-1=(p-1)pn-1(n≥2),
当p≠1且p≠0时,{an}是等比数列;当p=1时,{an}是等差数列;
当p=0时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列.
【例3】已知数列{an}满足:a1=m(m为正整数),an+1=\f(an23an+1,当an为奇数时.若a6=1,则m所有可能的取值为________.
答案 4,5,32解析 根据题意可知,当an为奇数时,an+1为偶数,∴由a6=1为奇数可以判定a5为偶数,∴a5=2a6=2.又当an+1为偶数时,若an+1是被3除余1的数,则an为奇数或偶数,否则an仍为偶数.a4可能为奇数也可能为偶数,∴a4=4,依次有a3=1,a2=2,a1=4,即m=4.或者a3=8,a2=16,a1=32或a1=5.
【例4】向边长为2米的正方形木框ABCD内随机投掷一粒绿豆,记绿豆落在P点,则P
点到A点的距离大于1米,同时∠DPC∈(0,π2)的概率为_____.
解析 由题意,易知:(1)点P在以A点为圆心,1为半径的圆外;
(2)若点P在以DC为直径的圆上,则∠DPC=π2,若点P在以DC
为直径的圆内,则∠DPCπ2,故只有点P在以DC为直径的圆外时满
足∠DPC为锐角.因此,点P落入图中的阴影部分,故所求概率1-3π16.
【例5】设f(x)=(x-a)2,x≤0,1x)+a,x>0.若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( )
A.[-1,2] B.[-1,0] C.[1,2] D.[0,2]
(2)设函数f(x)=x2+2x+2,x≤0,-x2,x>0.)若f(f(a))=2,则a=________.
解析 (1)∵当x≤0时,f(x)=(x-a)2,又f(0)是f(x)的最小值,∴a≥0;当x>0时,f(x)=x+1x+a≥2+a,当且仅当x=1时取“=”.要满足f(0)是f(x)的最小值,需2+a≥f(0)=a2,即a2-a-2≤0,解之,得-1≤a≤2,∴a的取值范围是0≤a≤2.选D.
【例6】有四根长都为2的直铁条,若再选两根长都为a的直铁条,使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架,则a的取值范围是____________.
答案 (0,4)解析 根据条件,四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架,有以下两种情况:
①底面是边长为2的正三角形,三条侧棱长为2,a,a,如图(1),
此时a可以取最大值,可知AD=3,SD=a2-1,
则有a2-12+3,即a28+43=(6+2)2,
即有a6+2,又2a2,∴1a6+2;
②构成三棱锥的两条对角线长为a,其他各边长为2,如图(2),此时a0且a4,即0a4.综上分析可知a∈(0,4).
【例7】正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为________.
答案43或833.解析 分侧面矩形长、宽分别为6和4或4和6两种情况.
【例8】抛物线y2=4px (p0)的焦点为F,P为其上的一点,O为坐标原点,若△OPF为等腰三角形,则这样的点P的个数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.6
答案 C解析 当|PO|=|PF|时,点P在线段OF的中垂线上,此时,点P的位置有两个;当|OP|=|OF|时,点P的位置也有两个;对|FO|=|FP|的情形,点P不存在.事实上,F(p,0),若设P(x,y),则|FO|=p,|FP|=?x-p?2+y2,若?x-p?2+y2=p,则有x2-2px+y2=0,又∵y2=4px,∴x2+2px=0,解得x=0或x=-2p,当x=0时,不构成三角形.当x=-2p时,与点P在抛物线上矛盾.所以符合要求的P点一共有4个.
【例9】设F1、F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点,P为椭圆上一点,已知P、F1、F2是一个
直角三角形
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