多边形边角关系(思维训练含答案).doc

知识要点梳理 定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。 凸多边形 分类1： 凹多边形 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。 1、n边形的内角和等于180°（n-2）。 多边形的定理任意凸形多边形的等于360°。 n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3） 只用一种正多边形：3、4、6。 镶嵌 拼成360度的角 只用一种非正多边形（全等）：3、4。 知识点一：多边形及有关概念　　　　 　　　　　　　　凸多边形 　　　　　　　　凹多边形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图1 　　(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角　　　 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 正三角形 　　　　正方形 　　　　正五边形 　　　　正六边形 　　　　正十二边形要点诠释：　　各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线条对角线。要点诠释：　　(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。　　(2)n边形共有条对角线。　　证明：过一个顶点有n－3条对角线(n≥3的正整数)，又∵共有n个顶点，∴共有n(n-3) 条对角线，但过两个不相邻顶点的对角线重复了一次，∴凸n边形，共有条对角线。知识点四：多边形的内角和公式边形的内角和为.　　2.公式的证明：　　证法1：在边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成个三角形，这个三角形的内角和为，再减去一个周角，即得到边形的内角和为.　　证法2：从边形一个顶点作对角线，可以作条对角线，并且边形被分成个三角形，这个三角形内角和恰好是边形的内角和，等于.　　证法3：在边形的一边上取一点与各个顶点相连，得个三角形，边形内角和等于这个三角形的内角和减去所取的一点处的一个平角的度数，　　即.要点诠释：　　(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。　　(2)内角和定理的应用：　　　 ①已知多边形的边数，求其内角和；　　　 ②已知多边形内角和，求其边数。 知识点五：多边形的外角和公式边形的内角和加外角和为，外角和等于.注意：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关。要点诠释：　　(1)外角和公式的应用：　　　 ①已知外角度数，求正多边形边数；　　　 ②已知正多边形边数，求外角度数. 　　(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：　　　 ①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加　　　　 1条边，内角和增加180°。　　　 ②多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关。知识点六：镶嵌的概念和特征，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点，恰好覆盖地面，这样360°＝，由此导出k＝＝2＋，而k是正整数，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多边形地砖铺地面，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用。　　注意：任意四边形的内角和都等于360°。所以用一批形状、大小完全相同但不规则的四边形地砖也可以铺成无空隙的地板，用任意相同的三角形也可以铺满地面。　　(3)用两种或两种以上的正多边形镶嵌地面　　用两种或两种以上边长相等的正多边形组合成平面图形，关键是相关正多边形“交接处各角之和能否拼成一个周角”的问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：　 　　　 　　又如，用一个正三角形、两个正方形、一个正六边形结合在一起恰好能够铺满地面，因为它们的交接处各角之和恰好为一个周角360°。规律方法指导一、填空题 图5 B C E F D A