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完全平方公式讲解 第一部分 概念导入 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2 应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______； （m+2）2=_______； （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________； （m-2）2=_______； 2．学生计算 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。 推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】 得到公式，分析公式 （1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （2）公式特征 左边：二项式的平方 右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和． 注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”． （3）公式中字母可代表的含义 公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式． （4）几何解释 图1－5 图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2　 ②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性． 【学习方法指导】 ［例1］计算 （1）（3a＋2b）2　 （2）（mn－n2）2 点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号． 解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2 注意：（2）中n2的指数2与公式中b2的二次方所代表含义不同，所以在展开过程中不要漏掉“二次方”． ［例2］计算 （1）（－m－n）2　 （2）（－5a－2）（5a＋2） 点拨：（1）可直接用完全平方公式．由于－m与－n是同号，所以公式中的2ab取“＋”．（2）中两个二项式虽然不同，但若将第一个括号中的“－”提出，则剩下的两个括号里的项完全相同，可利用完全平方公式进行计算． 解：（1）（－m－n）2 ＝（－m）2＋2·（－m）（－n）＋（－n）2 ＝m2＋2mn＋n2 （2）（－5a－2）（5a＋2） ＝－（5a＋2）（5a＋2） ＝－（5a＋2）2 ＝－（25a2＋20a＋4） ＝－25a2－20a－4 小结：由（2）可知，将两个二项式相乘，两个括号里的每一项都相反的话，可先作适当调整，再利用完全平方公式进行计算． ［例3］计算 （1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y） （2）（m－n）（m2－n2）（m＋n） 点拨：（1）可分别应用平方差公式与完全平方公式进行乘法运算，再化简．（2）可先利用平方差公式将m－n与m＋n相乘，再将所得结果m2－n2与中间括号里的m2－n2相乘，可利用完全平方公式． 解：（1）（x－2y）2－（x－y）（x＋y） ＝（x2－4xy＋4y2）－（x2－y2） ＝x2－4xy＋4y2－x2＋y2 ＝－4xy＋5y2 （2）（m－n）（m2－n2）（m＋n） ＝（m－n）（m＋n）（m2－n2） ＝（m2－n2）（m2－n2） ＝（m2）2－2·m2·n2＋（n2）2 ＝m4－2m2n2＋n4 说明：这两题在能用公式的地方尽量用公式，是因为应用公式可以简化运算，若想不到，用多乘多也可． ［例4］计算：（x＋）2－（x－）2 点拨：第一种方法是利用完全平方公式直接展开，第二种方法是可利用平方差公式逆运算：a2－b2＝（a＋b）（a－b），将此题转化为平方差公式进行计算． 解法一：（x＋）2－（x－）2 ＝（x2＋xy＋）－（x2－xy＋） ＝x2＋xy＋－x2＋xy－ ＝2xy 解法二： ［例5］计算：（a－2b＋1）（a＋2b－1） 点拨：此题“三项式乘三项式”，且这两个括号中的三项只有符号不同．先找出两个括号中完全相同的项