拉压杆的变形与叠加原理讲述.ppt

§6.8 拉压杆的变形与叠加原理 目的：刚度问题；拉压静不定问题方法：几何法，叠加法，能量法 一、拉压杆的轴向变形 胡克定律 二、拉压杆的横向变形 三、分段均匀和非均匀拉压杆的变形 杆变形的计算方法1 杆变形的计算方法2 四、叠加原理 另法：叠加原理 §6.9 拉压和剪切应变能 一、轴向拉压应变能 对于线弹性情况，???p时， [例4] 二、拉压与剪切应变能密度 纯剪切 [例5] * * 当杆件承受轴向载荷时，其轴向和横向尺寸均发生变化。杆件沿轴线方向的变形称为轴向变形；垂直于轴线方向的变形称为横向变形。 F F 集装箱运载桥 D A B C P 轴向 拉杆 下面我们将所圈区域放大 F FR2 FR1 C A B 30? ① ② P 刚度问题 拉压静不定问题 工程上使用的大多数材料，其应力应变关系的初始阶段都是线弹性的，亦即当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，这就是胡克定律，可以写成 1 Ｅ o a b F F 由 得 l l +? l b +?b b F F ——胡克定律 EA——拉压刚度（抗拉刚度） 三个弹性常数之间的关系： 试验表明 横向正应变 ?为泊松(Poisson)比 l l +? l b +?b b F F 只适用于计算在长度l内FN及EA均为常值的情况，即在l长度内变形是均匀。 —— l1 l2 A B F1 C F2 l1 l2 A B F1 C F2 如果变形是分段均匀的， 则总变形按右式分段求和： l1 l2 A B F1 C F2 l1 l2 A B F1 C F2 如果变形是非均匀的，例如考虑自重的竖杆、变截面杆等，轴力N(x)或截面积A(x)是x的函数。 则总变形按右式积分求和： l A B l A B F A B C F1 A B C F2 l1 l2 A B F1 C F2 由此可见，几个载荷同时作用时产生的总效果，等于各个载荷单独作用时产生的效果的总和。此原理称为叠加原理。（线性范围） = [例1] 如图螺栓内径为d=10.1mm,拧紧后在计算长度l=80mm内产生的总伸长量为?l=0.03mm。螺栓材料的弹性模量E=210GPa，泊松比?=0.3 。试计算螺栓内的应力、螺栓的预紧力和螺栓的横向变形。 解：拧紧后螺栓内的轴向正应变为 l1 l2 A B F C F [例2] 如图所示圆截面杆，已知F=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa，为保证杆件正常工作，要求其轴向总伸长量不超过0.10mm，即许用变形[?l]=0.10mm。试求截面直径d。 解：分析。这是一个刚度设计问题，需要通过计算变形来确定杆的直径。因此首先需要计算杆的变形与其直径之间的关系。 l1 l2 A B F C F F=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa， [?l]=0.10mm。 1、计算轴力 2、计算轴向变形 总伸长： 3、刚度设计要求： ?l ?[?l] 取d=8.7mm [例3] 如图所示涡轮叶片，当涡轮等速旋转时承受离心力作用。叶片横截面面积为A，弹性模量为E，单位体积的质量为?，涡轮的角速度为?，试计算叶片上的正应力与轴向变形。 解：1、叶片的外力 2、叶片的内力与应力（截面法?Fx=0） x dx R0 n n FN(x) R0 R1 ? d? x n n dF x dx R0 n n 3、叶片的变形 微段dx的变形 叶片的总变形 FN(x) 解：1、叶片的外力 2、dF单独作用效果 n-n截面上的正应力： 叶片的变形： 3、所有离心力作用效果的总和 n-n的正应力： 叶片的总变形： R0 ? d? R1 x n n dF 桁架是由二力杆铰接，外力作用在节点的结构模型。其变形通常用节点的位移来表示。 [例4]图示桁架，①②杆材料为钢，E＝200GPa， 横截面积A1＝200mm2， A2＝250mm2，①杆长l1＝2m。试求P＝10kN时，节点A的位移。 C A B 30? ① ② P 五、桁架的节点位移 解：1．求轴力 2．计算变形 （拉伸） （压缩） 由节点A的平衡条件可得杆①、杆②的轴力分别为 （伸长） （缩短） C A B 30? ① ② P FN1 FN2 P A 30? 3．求A点位移。 变形后的A点是分别以C点和B点为圆心，以CD和BE为半径所作圆弧的交点A。 由于变形很小，上述弧线可近似地用切线代替，于是过D点和E点，分别作CD和BE的垂线，其交点A′即可视为A的新位置。 （伸长） （缩短） D C A B 30? ① ② P E A A 因此，A点的水平位移和垂直位移为： D A E F G 应该强调指出，在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状和尺寸计算支反力和内力，也可