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08第八章排队论解读

第八章 排队论 第五节 排队系统的最优化设计 二是系统的最优控制(动态最优),研究如何对给定的系统实施最优运营战略,使目标函数达到最优的问题(服务机构的纯收入或利润(服务收入与服务成本之差)为最大。 一是系统的最优设计(静态最优),在系统设置之前,找出使系统达到最大效益的参数最优值(顾客的等待费用与服务机构的成本之和为最小); 排队系统的优化包括两方面的内容: 第八章 排队论 总费用 等待费用 服务费用 服务水平 最优解 期望费用 总的期望费用=服务费用+等待费用 排队系统最优设计的目标就是要确定适当的服务水平,使总的期望费用达到最小。 第五节 排队系统的最优化设计 第八章 排队论 一、M / M / 1 模型中最优服务率?* 费用函数 f 为单位时间服务成本与顾客在系统中逗留所致损失费用之和的期望值。假定服务率? 是一个连续值。则费用函数可为: a 表示当? =1时服务机构单位时间费用,即单位时间内服务一个顾客的费用;b为每个顾客在系统停留单位时间的费用;L为系统内逗留的顾客数;? 为平均服务率。 第八章 排队论 考虑 ,解得 将?* 的表达式代入费用函数 f ,则最小总平均费用: 一、M / M / 1 模型中最优服务率?* 第八章 排队论 例8-12 到某设备维修站维修的设备数为泊松流,平均每小时3台。假设一台设备停留在维修站1个小时,修理站要支付4元。若维修站只有一名维修人员,他的工资是每小时每台12元。为使工资与设备逗留费之和最小,该维修员每小时应维修多少台? 一、M / M / 1 模型中最优服务率?* 第八章 排队论 解 一、M / M / 1 模型中最优服务率?* 即每小时应维修4台设备。此时单位时间支出费用为: 第八章 排队论 h为每个服务台单位时间成本;C为服务台数;b为每个顾客逗留单位时间的费用;L(C)为系统中有C个服务台时逗留的顾客平均数。 二、M / M / C 模型中最优的服务台数C* 此处仅讨论标准的 M / M / C 模型,当系统处于稳态,单位时间的全部费用的期望值 f 为: 因为C是离散型变量,不能直接对 f(C)求微分。 根据费用函数存在最小值的必要条件,有 第八章 排队论 将式中 f 代入,得 hC* + bL(C*)≤ h(C* - 1)+ bL(C* - 1) hC* + bL(C*)≤ h(C* + 1)+ bL(C* + 1) 依次求C =1、2、3……时的 L 值,并作两相邻的 L 值的差,因为h/b是已知数,根据这个数落在哪个不等式区间内,就可求出C*。 二、M / M / C 模型中最优的服务台数C* 第八章 排队论 例8-13 某医院要确定试验设备的最优套数,经统计平均每天来做试验有48人,泊松分布到达。假设每个做试验的人的停留损失为每天6元,试验时间服从指数分布,每台设备服务率为每天25人。提供一套试验设备的费用每天4元。要求确定该院试验设备的最佳套数,使单位时间服务成本与逗留费用之和最小。 解 二、M / M / C 模型中最优的服务台数C* 第八章 排队论 将数据代入公式(8-11)求出: 第八章 排队论 结果见表8-4 由 第八章 排队论 表8-4 f (C)的边际分析 设备套数C P0 逗留人数L(C) L(C)-L(C+1) L(C-1)-L(C) f(c) 2 0.0204 24.490 21.845 ∞ 154.94 3 0.1244 2.645 0.582 21.845 27.87 4 0.1422 2.063 0.111 0.582 28.38 5 0.1457 1.952 0.111 31.71 因为h/b=0.667落在区间(0.582,21.845)内,所以C=3时 第八章 排队论 例8-14 某医院为了解决看病难问题,想增添B超设备,现已统计出平均每6分钟就有1人做B超检查,每人平均做20分钟。若假定患者到达的时间间隔和检查时间均服从负指数分布,管理人员要求合理确定B超台数,使得系统满足两个目标: ①每台设备空闲率不大于40%; ②每位患者平均等待检查的时间不超过5分钟。试确定最佳B超设备台数C。 解: 第八章 排队论 满足第一个目标的条件是: 满足第二个目标的条件是: 所以,同时满足两个目标的条件是:C = 5 第八章 排队论 第六节 案例分析 案例8-1 某医院欲购一台X光机,现有四种可供选择的机型。已知就诊者按泊松分布到达,到达率每小时4人。四种机型服务时间均服从指数分布,不同机型的固定费用,操作费,服务率见表8-5。若每位就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元

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