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振动理论第二章习题解答讲述
第二章习题
一重块,支承在平台上,如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧,其刚度均为。在图示位置时,每个弹簧已有初压力。设将平台突然撤去,则重块下落多少距离?
W
k k
题2—1图
解答:由题可知:弹簧在初始时的形变
设重块将下落h m,则:
于是:
2-3.求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d,剪切弹性摸量为 G,两端固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上,至轴两端的距离分别为。
解: 以圆轴的轴线为固定轴,建立系统的振动微分方程
惯性力矩:
恢复力矩:
由动静法得
因此
2-4 一均质等直杆AB,重为W,用两相同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。线长为,
两线相距为。试推导AB杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程,并求出
其固有频率。
解:AB杆绕重心摆动,则:
2-5 有一简支梁,抗弯刚度EI=2E10 N·c㎡,跨度为L=4m,用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm,重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。
(a)
(b)
解:根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度
图可以看作弹簧和杆的并联
弹簧质量系统的固有频率
已知EI=2E10 N·c㎡, K=5kN/cm, W=4kN
代入数据得
图可以看作弹簧和杆的串联
所以
代入数据得
2—9一有黏性阻尼的单自由度系统,在振动时,它的振幅在5个周期之后减少了50%。试求系统的相对阻尼系数。
【解】 由(2-33)式得
两端取对数,得
则:
列出题2—10图所示系统的振动微分方程,并计算其振动频率。解:系统运动时的受力如上所示
由动静法原理可得:
令 ,
则 ,
振动频率:
2—11如题2—1图所示轴承,轴的直径剪切弹性模量。圆盘饶对称轴的转动惯量为··,并在(kN·cm)的外力偶矩作用下发生扭振,求振幅值。
2-11
解:惯性力矩
恢复力矩
微分方程
所以,振幅
已知 ,,··,
代入数据得
2—12 已知一弹簧系统,质量块重,弹簧刚度,作用在质量块上的力为,而受阻力为。的单位均为,的单位为的单位为。求(1)忽略阻力时,质量块的位移和放大因子;(2)考虑阻力时,质量块的位移和放大因子。
解: 系统运动方程为:
系统的稳态响应:
其中:
忽略阻力时,即, 则
放大因子:
则系统的响应为:
(2)考虑阻力时,则:
放大因子:
则系统的响应为:
一有阻尼的弹簧质量系统,其固有频率为,弹簧刚度为,黏性阻尼系数。求在外力作用下的振幅和相位角。
解答:由题可知:
;
由于
则
2---14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件, ==0和质量块上受有
=时的响应。
解:阻尼较小时,即,系统响应为
其中,
代入初始条件 ==0,解得
因此,系统响应为
2—15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上,电动机与平台总质量为100kg,
弹簧的总刚度k=700N/cm。电动机轴上有一偏心质量为1kg,偏心距离e=10cm,电机转
速n=2000r/min,求平台的振幅。
解:由公式得
=
该系统的振动为偏心振动,故运动微分方程可写为:
式中,
圆频率 ()
频率比
设稳态响应则,
由公式得,()
2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程,并求出稳态振动的解。
题2-17图
解:系统运动微分方程为:
方程的解可表示为:
其中为方程的特解,亦即稳态振动的解,令其形式为:
将及其一阶、二阶导数代入运动微分方程,整理得:
令 ,则 , ,从而得
于是得
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