排列及n级行列式讲述.ppt

行列式按行（列）展开法则 注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。 元素 的余子式 元素 的代数余子式 * 副对角线 二阶行列式的计算 主对角线 例 一种运算表达式！ 三阶行列式的计算 对角线法则 三阶行列式 练习：根据定义算一算 行列式是研究矩阵的一个重要工具，是矩阵的重要数字特征。 对于n阶方阵 用记号 表示一个与A相对应的数，称为矩阵A的行列式(Determinant). 记做det(A)，或|A|. ●行列式的定义 元素 第一行 排列的逆序数 定义1(P52) 由n 个自然数1,2,3, …，n,构成的一个有序数组称为这一个n 阶排列. 例如： 1 2 3 4 5 5 1 2 3 4 5 3 2 1 4 都是数1，2，3，4，5的一个5阶排列. 注：n个数的不同n阶排列有 个. n ! 1,2,3, …，n,按照由小到大的顺序排成的排列称为 n阶标准排列或自然顺序排列. 例如：1, 2, 3构成的三阶排列有： 123， 231, 132等等 在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这个排列含有一个逆序. 一个排列中出现的逆序的总数 定义2（P52） 称为这个排列的逆序数，排列 的逆序数通常记为 例如：排列12的逆序数为 ， 排列21的逆序数为 ， 排列231的的逆序数为 ， 排列213的逆序数是 。 0 1 2 1 练习： 9 10 大 小 n 级排列 的逆序数的计算: 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。 定义3（P53） 定义（P53） 把一个排列中的某两个数交换位置，其余数字 不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换(动词)。 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 定理1 (P53) 奇排列 对换 偶排列 对换 奇排列 证明 1) 特殊情形：ab相邻 对换 与 除 外，其它元素所成逆序不改变. 设排列为 对换改变排列的奇偶性．即经过一次对换， 奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列． 定理1 (P53) 因此对换相邻的两个元素，排列改变奇偶性. 2)　一般情形 ab不相邻 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 设排列为 现来对换 与 推论： 时，n 个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为 个. 定理2 （P54） 定理2 （P54） 证明： 对排列的级数n作归纳，证明该结论成立。 1级排列只有1 个，结论自然成立。 假设结论对n-1 级排列成立， 设 是一n级排列，若 ,由归纳, 若 ，先对 作 的对换，它就 变成 ，则归结成前一情形，因此总成立. 现证n级排列情形： 本定理的后一结论显然成立(自然排列为偶排列). 若 ，先对 作 的对换，它就 变成 ，则归结成前一情形，因此总成立. (2) 自然排列12…n可经一系列的对换变到任意一个n元排列： 。 ，则此对换将 变成 则n-1级排列 可经一系列对换变成排列 奇数次对换 思考题 如果排列 　　的逆序数为 k ，则排列 的逆序数是多少？P96 5 作业：P96 4 副对角线 二阶行列式的计算 主对角线 三阶行列式 定义4 n阶行列式（P56） 的值等于所有取自不同行 不同列的n个元素的乘积 的代数和 n 级行列式 的值等于所有取自不同行 不同列的n个元素的乘积 的代数和 结论：1、共有n！项； 2、每项又n个元素； 3、每项这n个元素一定处于不同行不同列中； 4、每项符号与逆序数的奇偶有关，偶排列取 正，奇排列取负。 例1（P57） 上三角形行列式 上三角形行列式的值为 主对角线上的元素之乘积 下三角形行列式 下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积 特别 对角形行列式 例2 * 解 含 的项有两项,即 解 含 的项有两项,即 对应于 * 行下标取自然顺序 列下标取自然顺序 行列式的三个等价定义 P62 行列下 标任意排列 三阶行列式的项按行下标排列 乘积项按列下标排 乘积项任意排列 该项都是相等的！ 转置行列式 或记作 行、列对掉 称 为行列式 的转置行列式 Transpose 行列式的性质 ●行列式的性质 表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有 性质1（P60） 行列式转置后，其值不变， 即 如 在