排列组合资料讲述.ppt

§1.2 概率的定义及其确定方法 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下 出现的频率的稳定值称为该事件的概率. 古典定义；几何定义. 1.2.1 概率的公理化定义 非负性公理： P(A)?0; 正则性公理： P(Ω)=1; 可列可加性公理：若A1, A2, …, An …互不相容，则 1.2.2 排列与组合公式 从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. 排列讲次序，组合不讲次序. （1）排列：从n个不同元素中任取r（r≤n）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列总数记为 （3）组合：从n个不同元素中任取r（r≤n）个并成一组（不考虑元素先后出现次序），称此为一个组合，此种组合的总数记为 组 合 组合： 1.2.3 确定概率的频率方法 随机试验可大量重复进行. 频率稳定于概率与通常的极限不同，随着试验次数n的增大，频率与概率之间出现较大偏差只是越来越罕见，但绝对不是不可能出现。 频率方法提供了概率的一个可供想像的具体值，在试验重复次数n较大时，可用频率给出概率的一个近似值，即频率是概率的估计值。 注 意 抛一枚硬币三次 ? 抛三枚硬币一次 Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反), (正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}此样本空间中的样本点等可能. Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能. 例1.2.3(抽样模型） 一批产品共有N 个产品，其中M个是不合格品、N?M个是合格品.从中随机地取出n 个.试求Am=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。注意抽取的方式。这里是不放回抽样。 解：先计算样本空间的样本点总数，为 Am=“取出的n个产品中有m个不合格品”，该事件所含样本点的个数为 例1.2.4(放回抽样） 放回抽样是抽取一个后放回，然后再抽取下一个……如此重复直至抽出n个为止。 现对上例“一批产品共有N 个产品，其中M个不合格品、N?M个合格品.从中随机地取出n 个.” 在有放回抽样情况下，讨论事件Bm=“取出的n个产品中有m个不合格品”的概率。 B1=“取出的n个产品中有1个不合格品”，该事件所含样本点的个数为 彩票问题——幸运35选7 购买：从01，……，35 中选7个号码. 开奖：7个基本号码，1个特殊号码. 中奖规则 1) 7个基本号码 2) 6个基本号码 + 1个特殊号码 3) 6个基本号码 4) 5个基本号码 + 1个特殊号码 5) 5个基本号码 6) 4个基本号码 + 1个特殊号码 7) 4个基本号码，或 3个基本号码 + 1个特殊号码 中 奖 概 率 ? 中所含样本点个数： 中奖概率如下： 例1.2.6—— 盒子模型 n 个不同球放入 N 个不同的盒子中. 每个盒子中所放球数不限. 求(1)指定的n盒子中各有一球的概率(n?N) （2）恰有n 个盒子中各有一球的概率(n?N) 生日问题 求n 个人中至少有两人生日相同的概率. 看成 n 个球放入 N=365个盒子中. P(至少两人生日相同)=1?P(生日全不相同) 例1.2.2 n 个人围一圆桌坐， 求甲、乙两人相邻而坐的概率. 例1.2.3 n个人坐成一排， 求甲、乙两人相邻而坐的概率. (注意：请与上一题作比较) 1.2.5 确定概率的几何方法 例1.2.8(会面问题）甲乙两人约定在下午6点到7点之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人20min，过时即可离去，求两人能会面的概率 20 例1.2.3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率. ? 的随机模拟 由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为: P(A)= 2l/d?. 而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相交，则频率为: n/N. 用频率代替概率得： ? ? 2lN/(dn). 历史上有一些实验数据，见书P27. (*)例1.2.10在长度为a的线段内任取两点将其分为三段，求它们可以构成一个三角形的概率解：由于是任意分成三段，因此每段的长度是一个随机变量，由等可能性知这一个几何概率问题。 1.2.6 确定概率的主观方法 对于不能重复或不能大量重复的随机现象，如何确定有关事件的概率。 统计界的贝叶斯学派认为： 一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生的可能性所给出的个人信念，这样给出的概率称为主观概率 将35个号分成三类: 7个基本号码、 1个特殊号码、 27个无用号码 记 pi 为中i 等奖的概率。利用抽样模型得： 不中奖的概率为： p0=1?p1