控制工程基础清华大学董景新第二章控制系统的动态数学模型讲述.ppt

控制工程基础 （第二章） 清华大学 第二章 控制系统的动态数学模型 2.1 基本环节数学模型 2.2 数学模型的线性化 2.3 拉氏变换及反变换 2.4 传递函数以及典型环节的传递函数 2.5 系统函数方块图及其简化 2.6 系统信号流图及梅逊公式 2.7 受控机械对象数学模型 2.8 绘制实际机电系统的函数方块图 2.9 状态空间方程 第二章 控制系统的动态数学模型 建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。 经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律及实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。 本章要熟悉下列内容： 1、建立基本环节（质量-弹簧-阻尼系统和电路网络）的数学模型及模型的线性化 2、重要的分析工具：拉氏变换及反变换 3、经典控制理论的数学基础：传递函数 4、控制系统的图形表示：方块图及信号流图 5、受控机械对象的数学模型 6、绘制实际机电系统的函数方块图 7、现代控制理论的数学基础：状态空间模型 2.1 基本环节数学模型 数学模型是描述物理系统的运动规律、特性和输入输出关系的一个或一组方程式。 系统的数学模型可分为静态和动态数学模型。 静态数学模型：反映系统处于平衡点（稳态）时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。即只考虑同一时刻实际系统各物理量之间的数学关系，不管各变量随时间的演化，输出信号与过去的工作状态（历史）无关。因此静态模型都是代数式，数学表达式中不含有时间变量。 动态数学模型：描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。微分方程或差分方程常用作动态数学模型。 对于给定的动态系统，数学模型不是唯一的。工程上常用的数学模型包括：微分方程，传递函数和状态方程。对于线性系统，它们之间是等价的。针对具体问题，选择不同的数学模型。 建立数学模型是控制系统分析与设计中最重要的工作！ 2.1.1 质量-弹簧-阻尼系统 机电控制系统的受控对象是机械系统。在机械系统中，有些构件具有较大的惯性和刚度，有些构件则惯性较小、柔度较大。在集中参数法中，我们将前一类构件的弹性忽略将其视为质量块，而把后一类构件的惯性忽略而视为无质量的弹簧。这样受控对象的机械系统可抽象为质量-弹簧-阻尼系统。 见光盘课件（第二章第一节） 有源电路网络 2.2 数学模型的线性化 线性模型：满足叠加性与齐次性，用来描述线性系统。 叠加性指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。齐次性指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。 即若 为线性系统，则 非线性模型：不满足叠加性或齐次性，用非线性方程表示。 用来描述非线性系统。 线性化方法：一般可在系统工作平衡点附近，对非线性方程采用台劳级数展开进行线性化，略去高阶项，保留一阶项，就可得到近似的线性模型。 由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际意义。 线性化方法：假设变量相对于某一工作状态（平衡点）偏差很小。设系统的函数关系为 简写为 。如果系统的工作平衡点为 ，则方程可以在 点附近台劳展开 如果 很小，可以忽略其高阶项，因此上述方程可写成增量方程形式 其中， ， ， 2.3 拉氏变换及反变换 Laplace（拉普拉斯）变换是描述、分析连续、线性、时不变系统的重要工具！ 2.3.1 拉氏变换定义 定义 拉氏变换可理解为广义单边傅立叶变换。傅氏变换建立了时域和频域间的联系，而拉氏变换建立了时域和复频域间的联系。 ? 见光盘课件（第一章第二节） 2.3.2 简单函数的拉氏变换 周期函数的象函数 设函数x(t)是以T为周期的周期函数，即x(