多项式因式分解方法的开题答辩精要.pptx

开题答辩——多项式因式分解的几种方法 专业：数学与应用数学 导师： 答辩人： 多项式的因式分解有没有普遍的方法? 并没有 先看有无公因式， 再看能否套公式， 十字相乘试一试， 分组分解要合适。 课题背景及内容 研究意义 目的 因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。是中学数学中最重要的恒等变形之一，是一项重要的基本技能和基础知识，被广泛地应用于初等数学中，是解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等 因式分解有近百年累的沿革历程，作为一种运算技巧或解题方法，在代数学教学中具有非常重要的地位，是代数运算的基础。如在分式运算、一元二次方程的解法、一元二次不等式、二次函数、三角方程和根式运算等方面都发挥着重要的内容。因式分解在三角形中的应用，因式分解可以用来证明代数问题，用于代数式的求值，用于求不定方程，用于解应用题解决有关复杂数值的计算一个可约多项式如何分解，需要正确的灵活掌握因式分解的方法。分解因式蕴含的数学思想、方法需要通过因式分解这一载体塑造良好的数学思维品质，而不能仅仅局限于只是知道一些相对固法。因式分解是初中代数式的重要内容，是代数教学的重点，甚至在几何教学中发挥着重要作用，是一个必不可少的工具。能灵活的运用因式分解，对直觉思维能力和观察能力的培养有很大作用。 理论背景 多项式polynomia是代数学中的基础概念，是由称为不定元的变量和称为系数的常数通过有限次加减法、乘法以及自然数幂次的乘方运算得到的代数表达式。多项式是整式的一种。不定元只有一个的多项式称为一元多项式；不定元不止一个的多项式称为多元多项式。多项式在数学的很多分支中乃至许多自然科学以及工程学中都有重要作用。 几何特性 多项式是简单的连续函数，它是平滑的，它的微分也必定是多项式。 基本定理 　　代数基本定理是指所有一元 n 次（复数）多项式都有 n 个（复数）根。 高斯引理 　两个本原多项式的乘积是本原多项式。 分解定理 　　F[x]中任一个次数不小于 1的多项式都可以分解为F上的不可约多项式的乘积，而且除去因式的次序以及常数因子外，分解的方法是惟一的。 　　当F是复数域C时，根据代数基本定理，可证C[x]中不可约多项式都是一次的。因此，每个复系数多项式都可分解成一次因式的连乘积。 　　当F是实数域R时，由于实系数多项式的虚根是成对出现的，即虚根的共轭数仍是根，因此R[x]中不可约多项式是一次的或二次的。所以每个实系数多项式都可以分解成一些一次和二次的不可约多项式的乘积。实系数二次多项式x2+bx+с不可约的充分必要条件是其判别式b2-4αс0。 　　当F是有理数域Q时，情况复杂得多。要判断一个有理系数多项式是否不可约，就较困难。应用本原多项式理论，可把有理系数多项式的分解问题化为整系数多项式的分解问题。一个整系数多项式如其系数是互素的，则称之为本原多项式。每个有理系数多项式都可表成一个有理数及一个本原多项式的乘积 因式分解Factorization 定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个分解因式，与整式乘法为相反变形。 同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤. 多项式因式分解（也叫作分解因式）。 方法灵活，技巧性强,特别困难 在高等数学上因式分解有一些重要结论 因式分解与解高次方程有密切的关系。对于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相对固定和容易的方法。在数学上可以证明，对于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因为公式过于复杂，在非专业领域没有介绍。对于分解因式，三次多项式和四次多项式也有固定的分解方法，只是比较复杂。对于五次以上的一般多项式，已经证明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也没有固定解法 所有的三次和三次以上的一元多项式在实数范围内都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多项式在复数范围内都可以因式分解。这看起来或许有点不可思议。比如X+1,这是一个一元四次多项式，看起来似乎不能因式分解。但是它的次数高于3，所以一定可以因式分解。如果有兴趣，你也可以用待定系数法将其分解，只是分解出来的式子并不整洁。（这是因为，由代数基本定理可知n次一元多项式总是有n个根，也就是说，n次一元多项式总是可以分解为n个一次因式的乘积。并且还有一条定理：实系数多项式的虚数根两两共轭的，将每对共轭的虚数根对应