教研专用复习(线性代数)讲述.ppt

封闭的概念 定义：所谓封闭，是指集合中任意两个元素作某一运算得到 的结果仍属于该集合． 例：试讨论下列数集对四则运算是否封闭？ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 向量空间的概念 定义：设 V 是 n 维向量的集合，如果 ① 集合 V 非空， ② 集合 V 对于向量的加法和乘数两种运算封闭， 具体地说，就是： 若 a ∈ V， b ∈ V，则a + b ∈ V ．（对加法封闭） 若 a ∈ V， l ∈ R，则 l a ∈ V ．（对乘数封闭） 那么就称集合 V 为向量空间． 例：下列哪些向量组构成向量空间？ n 维向量的全体Rn 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 非齐次线性方程组的解集 S2 = { x | Ax = b } 解：集合 Rn，V1，S1 是向量空间， 集合 V2，S2 不是向量空间． 定义：齐次线性方程组的解集称为齐次线性方程组的解空间. 例：设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合 L = {l a + m b | l, m ∈R } 是一个向量空间吗？ 解：设 x1, x2 ∈L， k∈R，因为 x1 + x2 = (l1a + m1b) + (l2a + m2b) = (l1 + l2) a + (m1 + m2) b∈ L k x1 = k (l1a + m1b) = (kl1) a + (km1) b ∈ L 所以，L 是一个向量空间． 定义：把集合 L = {l a + m b | l, m ∈R } 称为由向量 a, b 所生成的向量空间． 一般地，把集合 L = {l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm ∈R } 称为由向量a1 , a2 , ..., am 所生成的向量空间． 例：设向量组a1 , a2 , ..., am 和 b1 , b2 , ..., bs 等价，记 L1 = { l1a1 + l2a2 + …+ lmam | l1, l2, ..., lm∈R }， L2 = { m1b1 + m2b2 + …+ ms bs | m1, m2, ..., ms∈R }， 试证 L1 = L2 ． 结论：等价的向量组所生成的空间相等． a l a L = {l a | l∈R } L = {l a + m b | l, m∈R } a b c L = {l a + m b + g c | l, m, g ∈R } l a m b g c a b l a m b a1 a2 L1 = { l1a1 + l2a2 | l1, l2∈R } L2 = { m1b1 + m2b2 | m1, m2∈R } 则 L1 = L2 L3 = { m1b1 + m2b2 + m3b3 | m1, m2 , m3∈R } 问题：L1 = L2 = L3? b1 b2 b3 返回 子空间的概念 定义：如果向量空间 V 的非空子集合 V1 对于 V 中所定义的 加法及乘数两种运算是封闭的，则称 V1 是 V 的子空间． 例： n 维向量的全体Rn 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 集合 V2 = { (1, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解：V1 是 Rn 的子空间，V2 不是 Rn 的子空间． 向量空间的基的概念 定义：设有向量空间 V ，如果在 V 中能选出 r 个向量a1, a2, …, ar，满足 ① a1, a2, …, ar 线性无关； ② V 中任意一个向量都能由 a1, a2, …, ar 线性表示； 那么称向量组 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 的一个基． r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量空间 ． 向量空间 向量空间的基 向量空间的维数 向量组 向量组的最大无关组 向量组的秩 n 维向量的全体 Rn 解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn 的维数等于 n . 集合 V1 = { (0, x2, …, xn)T | x2, …, xn∈R } 解：En 的后 n－1个列向量是V1 的一个基，故 V1 的维数等于 n－1 ． n 元齐次线性方程组的解集 S1 = { x | Ax = 0 } 解：齐次线性方程组的基础解系是 S1 的一个基，故 S1 的维 数等于 n－R(A) ． n 维向量的全体 Rn 解：En 的列向量组是 Rn 的一个基，故Rn 的维数等于