数值与计算方法第二章曲线拟合与平方逼近讲述.ppt

2.2.2 一般正交多项式 对首项系数 的n次多项式序列 如果满足 则称多项式序列在区间[a,b]上带权 正交。 表2-2 常用的正交多项式 它们与Chebyshev正交多项式类似，有递推关系式，正交性等 2.3 最佳平方逼近 定义 设 ， ， 积分 称为函数 与 在区间[a,b]上的内积 性质 C为常数 当且仅当f为0时等式成立 (2.21) 定义 设 ， ，…, 在区间[a,b]上连续，若 仅当 成立，则 ， ，…, 在区间上线性无关 。否则 为线性相关。 性质：正交函数系是线性无关的 设函数关系式 有如下线性关系 分别用 乘之，并积分得 （2.22） 系数矩阵的行列式为 记 为函数系 的Gramer行列式 定理 2.3 函数 在区间[a,b]上线性相关 的充分必要条件： 线性无关的充分必要条件： 2.3.2 最佳平方逼近 定义 对 找到一个函数 使 最小，即 式中 是确定的线性无关的函数系。 (2.23) 根据多元函数极值原理，方程的解必须满足 于是有正规方程 （2.24） 定理 2.4 正规方程组（2.24）有唯一解。 定理 2.5 设 是正规方程组（2.24)的解，则 是式（2.23）的解。 例 2.3 设 求 使 最小。 解 设 即取 则，a,b,c应满足正规方程组 于是 解之得 所以 平方误差 在实际问题中正规方程组（2.24）的阶数较高时， 其系数矩阵常常是病态的，为了避免解病态的正规 方程组，办法之一就是取为区间上带权函数正交的 函数系，这时正规方程组简化为 （2.25） 例 2.4 设 求 使 最小。 解 设 取 为k次的Legendre多项式，即 由正交性(2.20) 则 所以 * 本章内容 §3.1 观测数据的最小二乘拟合 §3.2 正交多项式 §3.3 最佳平方逼近 第3章曲线拟合与平方逼近 问题提出: 插值思想给出了一类确定函数 y = f (x) 的近似函数方法，但该类方法具有一定的局限性： 1) 实验数据本身难以保证每个数据值都能有好的精确性，而当其中有的数据存在误差时，由于插值条件的要求，其误差将完全被插值函数进一步继承。 2) 即使所有的观测数据都较精确，为了插值差值多项式次数过高而产生Runge现象，必须进行分段处理，而分段插值不具有较好的整体变化趋势和光滑性。三次样条插值函数虽有好的光滑性，可繁杂的表达式又在一定程度上限制了进一步的分析应用。 因此,需要讨论近似函数的另一类方法—逼近 1.拟合: 寻找函数P(x),使其曲线不必经过已有实验点，但尽可能接近每个实验点。P(x)称为拟合函数 2.偏差: 称?i = P(xi) - yi为xi处的偏差(偏离大小). 注：不要求 ?i = 0，i=0,1,2,…N，但希望?i 尽可能小. 考虑 尽可能小.或 尽可能小， ?i 0为权系数，其大小反映该数据的重要程度，通常取其为1 2.1 最小二乘拟合 2.1.1 最小