数值第六章线性代数方程组的直接法讲述.ppt

线性方程组数值解法的分类 ?直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组） ◆ Gauss消去法及其变形 ◆矩阵的三角分解法 求解线性方程组的（Doolittle ）三角分解法 直接三角分解法解AX = b的计算公式 对于r = 2, 3, …, n （2）计算U的第r行元素 （3）计算L的第r 列元素 (r ? n) (1) (4) (5) 例 用矩阵的Doolittle 三角分解法解方程组 ? Doolittle分解法的变形 紧凑格式的Doolittle三角分解法 例 所以 紧凑格式的列主元Doolittle分解法 例 §4 平方根法 1．矩阵的LDR分解 定理3：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不等于零， 则矩阵A存在唯一的分解式A = LDR，其中L和R分别是 n阶单位下三角阵和单位上三角阵，D是对角元素不为零的n阶对角阵，上述分解称为A的LDR分解。 2．平方根法 如果A为对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩阵，使A=LLT ，且当限定的对角元素为正时， 这种分解是唯一的，称为矩阵A的cholesky分解。 定理4：（对称正定矩阵的三角分解） 将对称 正定阵 A 做 LU 分解 U = uij = u11 uij / uii 1 1 1 u22 unn 记为 A 对称 即 记 D1/2 = 则 仍是下三角阵，且有 对称正定阵cholesky分解的实现 用平方根法解对称正定线性代数方程组的算法 （1）对矩阵A进行Cholesky分解，即A=LLT，由矩阵乘法： 对于 r = 1, 2,…, n 计算 * * 第六章 线性方程组 的直接解法 问题驱动：投入产出分析 投入产出分析是20世纪30年代由美国经济学家首先提出的， 它是研究整个经济系统各部门之间“投入”与“产出”关系的线性 模型，一般称为投入产出模型。国民经济各个部门之间存在着 相互依存的关系，每个部门在运转中将其它部门的成品或半成 品经过加工（称为投入）变为自己的产品（称为产出），如何 根据各部门之间的投入-产出关系，确定各部门的产出水平，以 满足社会的需求，是投入产出综合平衡模型研究的问题，试讨论 如下简化问题。 设国民经济仅由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入和产出关系、外部需求、初始投 入等如表6.1.1所示（数字表示产值，单位为亿元）。 表6.1.1 国民经济各个部门间的关系 表中第一行数字表示农业总产出为100亿元，其中15亿元农产品用于农业生产本身，20亿元用于制造业，30亿元用于服务业，剩下的35亿元农产品用于满足外部需求。类似地可以解释第二、三行数字。第一列数字中，15亿元如前所述，30亿元是制造业对农业的投入，20亿元是服务业对农业的投入，35亿元的初始投入包括工资、税收、进口等，总投入100亿元和总产出相等。假定每个部门的产出和投入是成正比的，由表6.1.1能够确定这三个部门的投入产出表，如表6.1.2所示。 表6.1.2 投入产出表 表中的第一行，第二列的数字表示生产1个单位产值的制造业产品需要投入0.10个单位的产值的农产品，同样第三行、第一列的数字表示，生产1个单位产值的农产品需要0.20个单位的服务业产值。表6.1.2的数字称为投入系数和消耗系数，如果技术水平没有变化，可以假设投入系数是常数。已知投入系数如表2.1.2所示，若今年对农业、制造业和服务业的外部需求分别为50、150、100亿元，试计算三个部门的总产出分别为多少？ 若共有n个部门，记一定时期内第i个部门的总产出为 xi, 其中对第 j个部门的投入为xij ，满足的外部需求为 di ，则 (6.1.1) 记第j个部门的单位产出需要第i个部门的投入为aij ，在每个部门的产出与投入成正比的假定下，有 (6.1.2) 投入系数即为aij，将(6.1.2)式代入(6.1.1)）式得方程组 用矩阵表示为 或 (6.1.3) 因此投入产出模型最终可归结为求解线性方程组的问题，下面 介绍求解线性方程组数值方法。 AX = b （3.1） ?迭代法（适用于高阶线性方程组） ◆Jacobi迭代法 ◆ Gauss-Seidel迭代法 ◆逐次超松弛法 ◆共轭斜量法 §1 高斯消去法 1．三角形方程组的解法---回代法 （3.2） （3.3） 2．顺序高斯消去法 基本思想：通过消元将上述方程组化为上三角形 方程组，再利用回代法进行求解。 记 消元公式 回代公式 对k=1,2,…n-1, 若 则可得 顺序Gauss消去法可执行的前提 定理 1