数值考试题解析讲述.ppt

* 一、填空题（每空3分,共30分) 考试题解析 解 由于 得特征值: 又A-1= 2.设矩阵A= ,当a取______值时,A可以唯一分解为GGT,其中G为下三角矩阵. 1.设矩阵A= ,则?(A)=_______,Cond(A)1=_______. ,所以‖A‖1=5,‖A-1‖1=5/7. 解 令 解 只要取?(x)=x3-a ,或?(x)=1-x3/a. 5.设?(x)=x3+x2-3,则差商?[3,32,33,34]=_______. 3.向量x=(x1,x2,x3)T,试问|x1|+|2x2|+|x3|是不是一种向量范数______,而|x1|+|2x2+x3|是不是一种向量范数_____. 是 不是 4.求 的Newton迭代格式为_______________________. 1 6.设l0(x),l1(x),l2(x),l3(x)是以x0,x1,x2,x3为互异节点的三次插值基函数,则 =____________. (x-2)3 7.设S(x)= 是以0,1,2为节 解 (1)因为0x?1时,?(x)0,x?2时,?(x)0,所以?(x)仅在(1,2)内有零点,而当1x2时,??(x)0,故?(x)单调.因此方程?(x)=0有唯一正根,且在区间(1,2)内. 点的三次样条函数,则b=________c=_________. 解 由2=b+c+1,5=6+2b+c,8=12+2b,可得 二、(13分)设函数?(x)=x2-sinx-1 (1)试证方程?(x)=0有唯一正根; (2)构造一种收敛的迭代格式xk+1=?(xk),k=0,1,2,…计算精度为?=10-2的近似根; (3)此迭代法的收敛阶是多少?说明之. -2 3 (2)构造迭代格式: 由于|??(x)|=| |1,故此迭代法收敛. (3)因为0??/2,所以??(?) 取初值x0=1.5, 计算得x1=1.41333, x2=1.40983,由于|x2-x1|=0.003510-2 , 故可取根的近似值??x2=1.40983. ?0 故,此迭代法线性收敛(收敛阶为1). 三、(14分)设线性方程组 (1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时, 预估误差??x*-x(10)??? (取三位有效数字). (2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当0??1时收敛. 解 (1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为 (3)由(1)可见??B???=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是??x(1)-x(0)???=1/2,所以有 四、(13分)已知?(0)=2,?(1)=3,?(2)=5,??(1)=0.5, 解 (1)由y0=2,y1=3,y2=5,y1?=0.5,得 H3(x)=2?0(x)+3?1(x)+5?2(x)+0.5?1(x) 令?0(x)=c(x-1)2(x-2),可得?0(x)=-0.5(x-1)2(x-2), 于是 H3(x)=-(x-1)2(x-2)-3x(x-2)+2.5x(x-1)2 –0.5x(x-1)(x-2) (1)试建立一个三次插值多项式H3(x),使满足插值条件: H3(0)=2,H3(1)=3,H3(2)=5,H3?(1)=0.5; (2)设y=?(x)在[0,2]上四次连续可微,试确定插值余项R(x)=?(x)-H3(x). 令?2(x)=cx(x-1)2,可得?2(x)=0.5x(x-1)2; 令?1(x)=x(x-2)(ax+b),可得?1(x)=-x(x-2), 令?1(x)=cx(x-1)(x-2),