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第五步：对于所有缩放，重复第一步至第四步。 缩放因子scale越小，小波越窄，度量的是信号的细节 变化，表示信号频率越高；缩放因子scale越大，小波越宽， 度量的是信号的粗糙程度，表示信号频率越低。 1. 连续小波变换（CWT） 2. 离散小波变换（DWT） 在每个可能的缩放因子和平移参数下计算小波系数，其 计算量相当大，而且有许多数据是无用的。如果缩放因子和 平移参数都选择为2j（j0且为整数）的倍数，就会使分析 的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小 波变换称为双尺度小波变换（Dyadic Wavelet Transform），它是离散小波变换（Discrete Wavelet Transform， DWT） 的一种形式。通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。 执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，它是一种 信号分解的方法， 又常称为双通道子带编码。 小波分解示意图 2. 离散小波变换（DWT） 信号的低频分量是最重要的，而高频分量只起一个修饰 的作用。如同一个人的声音一样，把高频分量去掉后，听起 来声音会发生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果 把低频分量删除后，就会什么内容也听不出来了。 2. 离散小波变换（DWT） 多级信号分解示意图 （a） 信号分解； (b) 小波分数； （c）小波分解树 一级分解 对低频分量连续分解, 可得到信号不同分辨率下的 低频分量,也称为信号的多分 辨率分析 分解的级数取决于 要分析的信号数据特征 及用户的具体需要。 表示下采样 对于一个信号，如采用上述方法，理论上产生的数据量 将是原始数据的两倍。于是，根据奈奎斯特（Nyquist）采样 定理， 可用下采样的方法来减少数据量，即在每个通道内每 两个样本数据取一个，便可得到离散小波变换的系数 （Coefficient）， 分别用cA和cD表示。 2. 离散小波变换（DWT） 3. 小波重构 利用信号的小波分解的系数还原出原始信号，这一过程称为小波重构（Wavelet Reconstruction）或叫小波合成（Wavelet Synthesis）。这一合成过程的数学运算叫做逆离散小波变换（Inverse Discrete Wavelet Transform， IDWT）。 1）重构近似信号与细节信号 小波分解的近似系数和细节系数可以重构出原始信号。同样，可由近似系数和细节系数分别重构出信号的近似值或细节值，这时只要近似系数或细节系数置为零即可。 重构近似和细节信号示意 （a） 重构近似信号； (b) 重构细节信号 2）多层重构 在上图中，重构出信号的近似值A1与细节值D1之后，则 原信号可用A1＋D1＝S重构出来。对应于信号的多层小波分解，小波的多层重构如下图： 重构过程为：A3+D3＝A2 A2+D2＝A1 A1+D1＝S 2）多层重构 信号重构中，滤波器的选择非常重要，关系到能否重构出 满意的原始信号。低通分解滤波器（L）和高通分解滤波器 （H）及重构滤波器组（L′和H′）构成一个系统，这个系 统称为正交镜像滤波器（Quadrature Mirror Filters， QMF） 系统。 4. 小波包分析 小波分析是将信号分解为近似与细节两部分，近似部分又可以分解成第二层近似与细节，可以这样重复下去。对于一个N层分解来说， 有N+1个分解信号的途径。 而小波包分析的细节与近似部分一样，也可以分解，对于N层分解，它产生2N个不同的途径。 4. 小波包分析 小波包分解也可得到一个分解树， 称其为小波包分解树（Wavelet Packet Decomposition Tree）， 这种树是一个完整的二叉树。小波包分解方法是小波分解的一般化， 可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。信号S可表示为AA2＋ADA3＋DDA3＋D1等。 5. 二维离散小波变换 将二维信号在不同尺度上的分解， 得到原始信号的近 似值和细节值。由于信号是二维的，因此分解也是二维的。 分解的结果为： 近似分量cA、 水平细节分量cH、 垂直 细节分量cV和对角细节分量cD。同样也可以利用二维小波 分解的结果在不同尺度上重构信号。 二维小波分解和重构过程示意图 （a） 二维DWT； (b) 二维IDWT 7.7.2 离散小波变换在图像处理中的应用简介 1. 用小波变换进行图像分解 八带分解示意图 (a) 一次二维