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2015-2016第1学期数学建模课程设计 题目 ：医疗保障基金额度的分配 姓名： 学号： 班级： 时间： 摘 要 随着人们生活水平的提高及社会制度的发展,医疗保险事业显得越来越重要,各企业也随之越来越注重员工的福利措施，医疗保障基金额度的分配也成为了人们的关注热点。扩大医疗保障受益人口也是政府和企业面临的难题，因而根据历史统计数据，合理的构造出拟合曲线，分析拟合函数的拟合程度，从而为基金的调配以及各种分配方案做方向上的指导。 本文针对A,B两个公司关于医疗保障基金额度的合理分配问题，根据两公司从1980-2003年统计的医疗费用支出数据，科学地运用了MATLAB软件并基于最小二乘法则进行了多项式曲线拟合，成功建立了医疗保障基金额度的分配模型。最后，对不同阶数的多项式拟合曲线的拟合程度进行了残差分析，并输出相关结果，得出拟合程度与多项式阶数的关联。 此问题建立在收集了大量数据的基础上，以及利用了MATLAB编程拟合曲线，使问题更加简单，清晰。该模型经过适当的改造，可以推广到股票预测，市场销售额统计等相关领域。 关键字：matlab，最小二乘多项式拟合,阶数，残差分析 一． 问题重述 某集团下设两个子公司：子公司A、子公司B。各子公司财务分别独立核算。每个子公司都实施了对雇员的医疗保障计划，由各子公司自行承担雇员的全部医疗费用。过去的统计数据表明，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。各子公司各年度的医疗费用支出见下表（附录1）。 试利用多项式数据拟合，得到每个公司医疗费用变化函数，并绘出标出原始数据的拟合函数曲线。需给出三种不同阶数的多项式数据拟合，并分析拟合曲线与原始数据的拟合程度。 二．模型假设 1．假设A,B两公司在1980年底才发放医疗保障基金。 2．假设在1980—2003年期间，A,B公司的雇员健康状况基本稳定，即没有大规模的疾病出现。 3．假设在1980---2003年期间，每个子公司的雇员人数以及每一年龄段的雇员比例，在各年度都保持相对稳定。 三．问题分析 解决医疗保障基金额度的分配问题，就是为了固定资源得到最优配置。 在此问题中，由于给定的均是离散的数据点，并且属于非线性相关的点，因此我们采用最小二乘法的思想对离散数据点进行多项式拟合，分别作出了不同阶数（一阶，二阶，三阶）的拟合曲线，并对各拟合曲线的拟合程度进行了定性和定量的分析，本文主要采用的是图示法和残差分析法。 由题设知，A,B两个子公司在1980-2003年的医疗保障费用支出已给定，利用matlab中的绘图函数plot函数先将给定的离散点绘出，观察图形的基本走势，最终确定出利用最小二乘法的基本思想，将多项式作为基函数对已知节点进行拟合，即多项式拟合。为了达到更好的拟合程度，分别采用了不同阶数的曲线拟合，并对最终拟合结果进行误差分析。 采用最小二乘法则进行拟合曲线时，实际上是求一个系数向量，该系数向量是一个多项式的系数。在matlab中，主要用polyfit函数求得拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得多项式计算所给出的点上的函数近似值。 1．polyfit函数的调用格式：[P,S]= polyfit(X,Y,n ) 2. polyval函数的调用格式：Y=polyval(P,X) 说明：X,Y为已知离散数据点，n为多项式阶数，返回P为幂次从高到低的多项式系数向量,是一个行向量。S是一个数据结构，返回采样点的误差向量。 本题中，将年分，公司A,B的保障基金的数值分别构造成矩阵。 X=1980:2003; A=[ 8.28,8.76,9.29,10.73,10.88,11.34,11.97,12.02,12.16,12.83,13.90, 14.71,16.11,16.40,17.07,16.96,16.88,17.20,19.87,20.19,20.00,19.81,19.40,20.48]; B=[8.81,9.31,10.41,11.61,11.39,12.53,13.58,13.70,13.32,14.32,15.84, 14.67,14.99,14.56,14.55,14.80,15.41,15.76,16.76,17.68,17.33,17.03,16.95 16.66]; 其中X是年份矩阵,A是公司A的数值矩阵，B是公司B的数值矩阵。 四．模型建立 通过对该问题的分析，基于最小二乘曲线拟合的大量调研资料结果表明，采用多项式数据拟合所得到的拟合优度较其他形式的基函数所得的拟合结果高，因此，本题中假定了所给定的离散数据点是服从一般多项式的形式： 。 于是，以