数学建模实验答案_离散模型讲述.doc

实验09 离散模型（2学时） （第8章 离散模型） 1. 层次分析模型 1.1（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264 已知正互反阵 注：[263]定理2 n阶正互反阵A的最大特征根 ≥ n。 ★(1) 用MATLAB函数求A的最大特征根和特征向量。 调用及运行结果（见[264]）： A=[1 2 6; 1/2 1 4; 1/6 1/4 1]; [V,D]=eig(A) V = 0.8685 -0.8685 -0.8685 0.4779 0.2390 - 0.4139i 0.2390 + 0.4139i 0.1315 0.0658 + 0.1139i 0.0658 - 0.1139i D = 3.0092 0 0 0 -0.0046 + 0.1663i 0 0 0 -0.0046 - 0.1663i D=diag(D) D = 3.0092 -0.0046 + 0.1663i -0.0046 - 0.1663i D=D.*(imag(D)==0) D = 3.0092 0 0 [lambda,k]=max(D) lambda = 3.0092 k = 1 w=V(:,k)/sum(V(:,k)) w = 0.5876 0.3234 0.0890 (2) 幂法（见[263]） A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下： a. 任取n维非负归一化初始列向量（分量之和为1）； b. 计算； c. 归一化，即令； d. 对于预先给定的精度ε，当时，即为所求的特征向量；否则返回到步骤b； e. 计算最大特征根。 注： 函数式m文件如下： function [lambda w]=p263MI(A,d) %幂法——求正互反阵最大特征根和特征向量 % A 正互反方阵 % d 精度 % lambda 最大特征根 % w 归一化特征列向量 if(nargin==1) %若只输入一个变量（即A），则d取0.000001 d=1e-6; end n=length(A); %取方阵A的阶数 w0=rand(n,1); w0=w0/sum(w0);%任取归一化初始列向量 while 1 ww=A*w0; w=ww/sum(ww); %归一化 if all(abs(w-w0)d) break; end w0=w; end lambda=sum(ww./w0)/n; ☆(2) 用幂法函数求A的最大特征根和特征向量。 调用及运行结果（见[264]）： (3) 和法（见[264]） A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下： a. 将A的每一列向量归一化得； b. 对按行求和得； c. 将归一化即为近似特征向量； d. 计算，作为最大特征根的近似值。 函数式m文件如下： function [lambda w]=p264HE (A) %和法——求正互反阵最大特征根和特征向量 % A 正互反方阵 % lambda 最大特征根 % w 归一化特征列向量 AA=A/diag(sum(A)); %a. 将A的每一列向量归一化 ww=sum(AA,2); %b. 对AA按行求和，ww为列向量 w=ww./sum(ww); %c. 归一化，得w为近似特征列向量 lambda=sum(A*w./w)/ length(A); %d. 计算最大特征根的近似值λ ☆(3) 用和法函数求A的最大特征根和特征向量。 调用及运行结果（见[264]）： (4) 根法（见[264]） A为n×n正互反矩阵，算法步骤如下： a. 将A的每一列向量归一化得； b. 对按行求积并开n次方得； c. 将归一化即为近似特征向量； d. 计算，作为最大特征根的近似值。 ★(4) 编写根法函数，用该函数求A的最大特征根和特征向量。 [提示：sum, prod, diag] 对矩阵A按行求和的调用为sum(A, 2)。 对矩阵A按行求积的调用为prod(A, 2)。 diag(V)，用向量V构造对角矩阵。 nargin，存放函数输入自变量的数目。 编写的程序和调用及运行结果（见[264]）