数学模型实验三讲述.doc

开课学院、实验室：数统学院 实验时间 ：2016 年 3月 27日 课程 名称 数学实验 实验项目 名 称 微分方程模型、求解及稳定性分析 实验项目类型 验证 演示 综合 设计 其他 指导 教师 成 绩 实验目的 [1] 归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法； [2] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [3] 熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令； [4] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； 实验内容 1． 微分方程及方程组的解析求解法； 2． 微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法； 3． 直接使用MATLAB命令对微分方程(组)进行求解(包括解析解、数值解)； 4． 利用图形对解的特征作定性分析； 5． 建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。 基础实验 一、问题重述 1．求微分方程的解析解, 并画出它们的图形， y’= y + 2x, y(0) = 1, 0x1; y’’+ycos(x) = 0, y(0)=1, y’(0)=0; 2．用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’= y - 2x/y, y(0) = 1 (0≤x≤1,h = 0.1) 的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？ 4.Apollo卫星的运动轨迹的绘制 二、实验过程 1、（1） 源程序： y=dsolve(Dy=y+2*x,y(0)=1,x) x=linspace(0,1,100); y = 3*exp(x) - 2*x - 2; plot(x,y) 实验结果： y = 3*exp(x) - 2*x - 2 1、（2） 源程序: y=dsolve(D2y+y*cos(x)=0,y(0)=1,Dy(0)=0,x) 实验结果： Warning: Explicit solution could not be found. In dsolve at 194 y = [ empty sym ] 该方程没有解析解。 2、向前欧拉： 源程序： euler.m: function [x,y]=euler(fun,x0,xfinal,y0,n); if nargin5,n=50; end h=(xfinal-x0)/n; x(1)=x0;y(1)=y0; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y(i+1)=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); end doty.m: function f=doty(x,y); f=y-2*x/y; 在matlab中输入： [x,y]=euler(doty,0,1,1,10)； y1=sqrt(1+2.*x); plot(x,abs(y-y1),*)% 做出数值解与精确解的误差图 实验结果： x = Columns 1 through 10 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 Column 11 1.0000 y = Columns 1 through 10 1.0000 1.1000 1.1918 1.2774 1.3582 1.4351 1.5090 1.5803 1.6498 1.7178 Column 11 1.7848 改进欧拉： 源程序： eulerpro.m: function [x,y]=eulerpro(fun,x0,xfinal,y0,n); if nargin5,n=50; end h=(xfinal-x0)/n; x(1)=x0;y(1)=y0; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i)); y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1); y(i+1)=(y1+y2)/2; end 在matlab中输入： [x,y]=eulerpro(doty,0,1,1,10)； plot(x,abs(y-y1),*) 实验结果： x = Columns 1 through 10 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 Column 11 1.0000