3.1随机变量的分布函数一、分布函数的概念.ppt

3.1 随机变量的分布函数一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 3.2 连续型随机变量 二、几个常用的连续型分布  例5：设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程 有实根的概率。 （4）若X～ ，则 ～N（0，1）。 独立性的例子 例：书中（P122）例3.7的两个随机变量是否独立？ 例： 设(X,Y) ～ N(?1, ?2, ?12, ?22, ?)，则X与Y独立充要条件为?=0。 § 3.4 随机变量函数的分布 若(X, Y)～p(x, y), (x, y)?R2, 则Z＝X＋Y的密度为： 一般地，设随机变量X1, X2，..., Xn独立且Xi服从正态分布N(?i ,?i2),i=1,...,n, 则 三、统计学上的几个常用分布 1、 -分布 2、t—分布 3、F—分布 3.随机变量函数的期望 定理3.3 若(X, Y) ~p(x, y), -?x?, -?y?, 则Z=g(X, Y)的期望 注：（1） 只是随机变量间线性关系强弱的一个 度量； （2）当 ，X与Y之间存在线性关系（以概率1）； 当 较大时，说明X与Y线性关系程度较好； 当 较小时，说明X与Y线性关系程度较差； 当 时，X与Y不相关。 例2：若（X，Y）在圆域 上服从均匀分布，求条件概率密度 例3：设X在区间（0，1）上随机地取值，当观察到X=x（0x1)时，数Y在区间（x，1）上随机地取值，求Y的密度函数。 二、条件期望 1、定义：如果X在Y=y发生的条件下的条件密度函数为 ，若 一.数学期望的定义 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 1.定义 若X~p(x), -?x?,当 为X的数学期望。 则称 §3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式 例1. 若随机变量X服从拉普拉斯分布，其密度函数为 试求E(X). 解 2.几个重要r.v.的期望 （1） 均匀分布U(a, b) （2）指数分布 （3）正态分布N(?, ?2) 例2：设随机变量X服从标准正态分布，求随机变量 Y=aX+b的数学期望(其中a0) 定理3.2 若X~p(x), -?x?, 则Y=g(X)的期望 例3 长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间 例4：设X服从N(0,1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4) 解： (1) E(c)=c,c为常数; (2)E(cX+dY)=cE(X)+dE(Y), c,d为常数; (3) 若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y). 4. 数学期望的性质 例5：设随机变量X??N(0,1)，Y?U(0,1)，Z?B(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量 U=（2X+3Y)(4Z-1)的数学期望。 例6： 设随机变量 相互独立，且均服从 分布，求随机变量 的数学期望 答: 答: 1.定义 若E(X),E(X2)存在，则称 E[X-E(X)]2 为r.v. X的方差，记为D(X),或Var(X). 称 为r.v.X的标准差 易见，若X~p(x)分布，则 二.方差 2.推论 D(X)=E(X2)-[E(X)]2. 例1：设随机变量X的概率密度为 1)求D(X), 2)求 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意??0，有 这就是著名的契贝晓夫 (Chebyshev)不等式。 它有以下等价的形式： 3.契贝晓夫不等式 证明： (1) D(c)=0。反之，若D（X）=0，则存在常数C，使 P{X=C}=1, 且C=E(X); (2) D(aX)=a2D(X), a为常数； (3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y)=D(X)+D(Y); 证明: 4. 方差的性质 (1) 均匀分布U(a, b)： (2)指数分布： (3) 正态分布N(?, ?2) 5. 几个重要的r.v.的方差 解： 解: 例3：已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，利用契贝晓夫不等式求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。 1.协方差定义与性质 (1)协方差定义:若r.v. X的期望E(X)和Y的期望E(Y)存在, 则称 COV(X,