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微 积 分 教 学 大 纲 （2013年9月） 福建师范大学福清分校数计系 二○一三年九月 一、使用说明 （一）课程性质 《微积分》微积分该课程主要课程共学时，学分。本课程将采用课堂讲授、教学第二章 时，函数的极限；时，函数的极限；函数极限的几何解释；单边极限。 §2.3 无穷小量与无穷大量 无穷小量的定义与基本性质，无穷小量的比较；无穷大量的定义；无穷小量与无穷大量的关系。 §2.4 极限的四则运算 §2.5 极限的基本性质 唯一性、有界性、保号性、不等式性等。 §2.6 极限的存在性定理,两个重要极限 夹逼定理，单调有界数列的极限存在性定理。 ， §2.7 函数的连续性 函数的改变量；函数的连续性，左连续与右连续；函数的连续性与极限的关系。 函数的间断点及其分类。 连续函数的和、差、积、商的连续性；反函数与复合函数的连续性；初等函数的连续性；分段函数的连续性。 §2.8 闭区间上连续函数的基本定理 有界性定理，最值定理，介值定理，零点定理。 第三章 1 导数概念 变速直线运动的速度；平面曲线的切线斜率；导数的定义与几何意义；可导与连续的关系。 §3.2 基本初等函数的导数公式 §3.3 高阶导数的概念与求法 §3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 §3.5 函数的微分 微分的定义与几何意义；可导与可微的关系；微分法则与微分基本公式；微分形式的不变性。 §3.6 导数与微分的简单应用 边际与弹性概念。 第章 型、型的罗必塔法则，了解其它未定式的定值方法。 注意罗必塔法则适用的条件。 3．熟练掌握函数单调性的判别法。 4．熟练掌握求函数的极值与最值的方法；了解函数极值与最值的关系与区别；会求某些简单的经济应用问题。 5．了解曲线凹凸性的判别法；掌握求曲线拐点与渐进线的方法。 6．了解函数作图的基本步骤与方法；会作某些简单函数的图形。 [教学要点] 本章重点: 1.拉格朗日中值定理的题的条件,结论和有限增量形式. 2.用罗必塔法则求,型的极限化五种不定式∞-∞,0*∞, ,,为型或 型 3.利用导数研究函数的单调性,极值. 4.经济应用问题:最大利润,最小成本等. 本章难点: 1.三个中值定理的证明,证明时辅助函数的引进 2.化五种不定式∞-∞,0*∞, ,,为型或型 3.利用单调性和极值证明不等式 [教学时数] 26学时。 [教学内容] §4.1 中值定理 Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理。 §4.2 罗必塔法则 §4.3 导数的应用:函数单调性的判别法 §4.4 函数的极值与最值 函数极值的定义，函数取极值的必要条件与充分条件；函数最值的概念，求函数最值的基本步骤。 §4.5 泰勒公式 第章， ， [教学要点] 本章重点: 1.原函数,不定积分的定义,基本积分公式 2.换元法,分部积分法 本章难点： 1.第一换元法,第二换元法,分部积分法 [教学时数] 20学时。 [教学内容] §5.1 不定积分的概念 原函数的概念；不定积分的定义与几何意义；不定积分的基本性质。 §5.2 基本积分表 §5.3 换元积分法 第一换元积分法，第二换元积分法。 §5.4 分部积分法 第章—莱布尼兹公式,定积分的计算 2.定积分的换元法及分部积分法 3.平面图形的面积计算 本章难点: 1.定积分几何意义,变上限定积分 2.广义积分的敛散性 3.”微元法”的基本思想 [教学时数] 20学时。 [教学内容] §6.1 定积分的概念与性质 曲边梯形的面积；定积分的定义与几何意义；定积分的基本性质；积分中值定理。 §6.2 微积分基本定理 变上限积分，原函数存在定理；变上限积分的求导方法；牛顿——莱布尼兹公式。 §6.3 定积分的计算 第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法。 §6.4 定积分的应用 平面图形的面积，立体的体积，简单的经济应用问题。 第章1 无穷级数的概念与性质 无穷级数及其一般项与部分和的概念；无穷级数收敛与发散的定义；收敛级数和的概念；几何级数与调和级数的收敛性；无穷级数收敛的必要条件；收敛级数的基本性质。 §7.2 正项级数 正项级数收敛的概念；正项级数收敛的充分必要条件；正项级数敛散性的比较判别法、达朗贝尔比值判别法；P级数的敛散性。 §7.3 任意项级数 交错级数的概念；交错级数敛散性的莱布尼兹判别法；任意项级数的绝对收敛与条件收敛的概念；绝对收敛与条件收敛的判别法。 第章 第章 1 微分方程的基本概念 微分方程的定义，微分方程的阶、解（通解、特解）、定解条件和初值问题等