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第二讲 行列式、矩阵 教学目的： 举例介绍行列式的一些常用算法；重点是常用算法的掌握； 介绍Cramer法则及其推论； 为“矩阵”开个头； 教学内容； 第一章 行列式 § 1.3 行列式按行（列）展开； § 1.4 Cramer法则 第二章 矩阵 § 1.1 矩阵的概念 教材相关部分： § 1.3 行 列 式 按 行（列）展 开 一、余子式与代数余子式 定义1.4 在阶行列式中任取一个元素，划去所在的第行、第列，剩下的那个阶行列式 ， （1.12） 称为元素的余子式。记，称为元素的代数余子式。 在中，元素的余子式是，而它的代数余子式是。 引理 如果阶行列式的第行除外的其余元素都为零，则这个行列式等于与其代数余子式的乘积，即。 证 先证最简单的情况：设 ， 这是例1.6中时的情况，由例1.6的结论，即有。又因，故得 。 再证一般的情况：设的第行除外的其余元素都为零： 将的第行依次与上面的行逐行对换，再将第列依次与左面的列逐列对调，共经次对调，将调到了第1行第1列的位置上，所得的行列式记为，则 ， 而在中的余子式仍然是在中的余子式。利用已证的结果有，因此 。◆ 定理1.3 阶行列式的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，等于的值，即 ， 或 。 (1.13) 证 任选的第行，把该行元素都写作个数之和： ++， 由引理即得 。 这称为“按第行展开”，按第列展开可类似证明，即 。◆ 这个定理称为行列式按一行（列）展开法则。它为行列式计算提供了又一种思路：将阶行列式的计算化为阶行列式的计算，这称为降阶。 设，求其展开式中项的系数。 解： 将按第一行展开： ， 则可见项的系数为的代数余子式。 计算n阶行列式 解法一：按第一列展开： 便得到一个递推公式： 。 但用此式较难递推，将其变形为： 。 用此公式递推可得： 。 而，，故首先递推得： 。 由此再作递推： 。 解法二：得到递推公式后，用数学归纳法。易见 ； 。 假设 ， ， 则得 。 证明范得蒙行列式： 其中 。 证 用数学归纳法：当时，，等式成立。假设等式对阶范得蒙行列式成立，即。则对n 阶范得蒙行列式： 按第一列展开并提取公因子，得 。 后面的行列式是一个阶范得蒙行列式，由归纳假设可写作，代入上式便得 。 定理1. 4 行列式某一行元素与另一行对应元素的代数余子式之积的和等于零，即 (1.14) 证 故 。◆ 结合定理1.3和定理1.4，可得拉普拉斯定理： 、 (1.15) ， (1.16) 其中，，称为克龙纳克尔（Kronecker）函数。 设，求。 解： 本例可以按代数余子式的定义计算，但较繁。可以利用定理1.4： 。 § 1.4 克莱默（Cramer）法则 Cramer法则 考察二元线性方程组 （1.17） 用消去法来求解，若消去，便得 ； 若消去，则得 ； 当时，便有解 ， 。 （1.18） 用行列式记，上式可表为：，，记作：、，其中，其元素恰是各变元的系数，称为系数行列式；而、恰是以等号右端的常数分别替换系数行列式的第一、二列所得的行列式。 学习了行列式计算之后，这种直接用方程组的有关行列式之比来解方程的方法，还可以推广到一般的方形方程组： 定理1.5（法则） 设线性方程组， （1.19） 其系数行列式，用常数向量替换的第列所得的阶行列式记作，即 ,（）。 （1.20） 若，则线性方程组存在唯一解： (1.21) 证 先证 是方程组的解：将按第列展开得， 然后将 代入方程组中第个方程的左边得： ， 由的任意性知， 确是线性方程组的解。