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曲线积分与曲面积分习题详解 习题9-1 1 计算下列对弧长的曲线积分： （5），其中为折线段，这里,,,的坐标依次为, ； 解 如图所示， ． 线段的参数方程为 ，则 ， 故 ． 线段的参数方程为，则 故 ， 线段的参数方程为，则 ， 故 所以 ． 2 设一段曲线上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量． 解 依题意曲线的线密度为，故所求质量为，其中 ．则的参数方程为 ， 故 ， 所以 ． 习题9-2 2 计算下列对坐标的曲线积分： （4）是从点沿上半圆周到点的一段弧； 解 利用曲线的参数方程计算．的参数方程为:，在起点处参数值取，在终点处参数值相应取0，故从到0．则 =． （6），其中是螺旋线：,,从到上的一段； 解 习题9-5 1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积: (1) 星形线 ()；） 解 。 (2) 圆，（）； 解 设圆的参数方程为,从变到.那么 。 2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) ,其中是圆,方向是顺时针方向； 解 由格林公式，，于是 其中是圆域。设，则 。 (2) ，其中是圆，方向是逆时针方向； 解 设闭曲线所围成闭区域为，这里 ，，，， 由格林公式，得 。 (3) ，其中是依次连接三点的折线段，方向是顺时针方向。 解 令，，则，且线段，由1变化到-1，故有 ． 其中为所围成的闭区域． (4) ，其中为常数，为圆上从点到点的一段有向弧； 解 如右图所示，设从点到点的有向直线段的方程为 ，从变到。 则与曲线构成一闭曲线，设它所围成闭区域为，令 ，， ，， 由格林公式，得 。 而 ， 故 。 (5) ，其中，为圆周取逆时针方向，是沿的外法线方向导数。 解 由于，其中是在曲线上点处的切线的方向角，故．根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有 ． 因为为圆周，所以所围成的圆的面积，因此 。 3. 计算曲线积分,其中为 (1) 椭圆,取逆时针方向； (2) 平面内任一光滑的不经过坐标原点的简单正向闭曲线. 解 (1)令，，则当时，， 但积分曲线所围区域包含点，在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点去掉，为此作半径足够小的圆:，使位于的内部，如图右所示．的参数方程为 ，，， 取逆时针方向．于是 ， 其中表示的负方向．由格林公式则有 ， 其中为与所围成的闭区域．故 ． (2) 分两种情况计算。 ① 闭曲线内部不包含坐标原点，设它所围成的闭区域为，那么由格林公式得 ； ② 闭曲线内部包含坐标原点，仿（1）可得 . 习题9-6 1．求曲线积分，其中是圆的上半圆周，取顺时针方向. 解 令，，则在整个面内恒成立，因此，曲线积分在整个面内与路线无关。故可取沿轴上的线段（如右图所示）积分，即，于是，，有 . 3 验证下列在整个面内为某一函数的全微分，并求出这样的一个： （3）。 解 令，，则在全平面上有 ，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， 是全微分． 下面用2种方法来求原函数： 解法1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9－10所示，可取定点，动点与，于是原函数为 ． 取路径: ，得 ． 解法2 从定义出发，设原函数为，则有，两边对积分（此时看作参数），得 （*） 待定函数作为对积分时的任意常数，上式两边对求偏导，又，于是 ， 即 ，从而 （为任意常数），代入（*）式，得原函数． 总习题A 一、 填空题 1．设为柱面与平面的交线，从轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分. (2011 考研 数学一) 2．设曲线为圆周,则． 3．设为任意一条分段光滑的