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第10章 振动与波 10-13 一简谐振动的运动方程为，求圆频率、频率、周期T、振幅A和初相。 分析：可采用比较法求解。将题给运动方程与简谐运动方程的一般式作比较，即可求得各量。 解：将与比较，可得 ，， ， 10-14 一边长为a的正方形木块浮于静水中，其浸入水中部分的高度为a/2，用手轻轻地把木块下压，使之浸入水中的部分高度为a，然后放手，试证明，如不计水的粘滞阻力，木块将作简谐振动，并求其振动的周期和频率。 分析：要证明木块作简谐运动，需要分析木块在平衡位置附近上下运动时，它所受的合外力F与位移x间的关系，如果满足，则木块作简谐运动。通过即可求得振动周期和频率。 证：块处于平衡状态时，。当木块上下作微小振动时，取木块处于力平衡时的质心位置为坐标原点O，竖直向下为x轴正向。则当木块向下偏移x位移时， 则木块所受合外力为 式中是一常数。可得木块运动的微分方程为 这表明木块在其平衡位置上下所作的微小振动是简谐运动。 （），可得其振动周期和频率分别为 ， 10-15 已知简谐振动图线如图所示，求谐振动方程及速度表达式。 解 由振动图线知： 当时，；当时，。 将，代入，得：，即 ， 又时，，由图知，要求 所以： 将,代入，得 即：， 又因，则 故：，所以： 谐振动方程为： 速度表达式为： 10-16 简谐振动的角频率为，开始时在位移为7.5cm，速度为0.75m/s，速度方向与位移(1)一致；(2)相反。分别求这两种情况下的振动方程。 分析 在角频率已知的条件下，确定振幅A和初相是求解简谐运动方程的关键。 解 由题意知，。当时，， cm/s。 振幅： 初相： 速度方向与位移一致时 得到初相： 振动方程为： 速度方向与位移相反时： 得到初相： 振动方程为： 10-17 一质量的小球作简谐振动，速度的最大值，振幅A=0.020m，当时，=0.030m/s。试求： （1） 振动的周期； （2） 谐振动方程； （3）t=0.5s时，物体受力的大小和方向。 解：(1)根据速度的最大值公式，得 则周期： 由，故 谐振动方程为：(3)将代入加速度公式，得 物体受力的大小为： 方向与位移相反。 10-18 一放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅，周期T=0.50s．当t=0时，1）物体在正方向端点； 2）物体在平衡位置，向负方向运动； 3）物体在处，向负方向运动； 4）物体在向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。 分析在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相是求解简谐运动方程的关键。初相的确定通常有两种方法。1）解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即时时，和来确定值。2）旋转矢量法：将质点P在Ox轴上振动的初始位置和速度的方向与旋转矢量图相对应来确定。旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用。 解由题给条件知，而初相可采用分析中的两种不同方法来求。 解析法：根据简谐运动方程，当时有，。当 (1) 时，，则； (2) 时，，则，因，取； (3) 时，，则，由，取； (4) 时，，则，由，，取。 旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，它们所对应的初相分别为，，，。 振幅、角频率、初相均确定后，则各相应状态下的运动方程为 (1) (2) (3) (4) 10-19 简谐振动方程为，求物体由运动到所用最少时间? 解 得： 物体由运动到所用最少时间为 即 10-20 试证明：1）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对时间的平均值都等于 2）在一个周期中，简谐运动的动能和势能对位置的平均值分别等于和。 证 1）因为简谐运动的动能和势能分别为 所以在一个周期中，动能与势能对时间的平均值分别为 2）因简谐运动的势能，则势能在一个周期中对位置的平均值为 所以动能在一个周期中对位置的平均值为 10-21 一物体同时参与两个在同一直线上的简谐振动，其表达式分别为 试求合振动的振幅和初相。 解 因为 故合振动振幅为 合振动初相位为 10-22两个同方向的谐振动方程分别为和。求合振动的振动方程。 解 因为 故合振动振幅为 合振动初相位为 合振动的振动方程为 10-23 一平面简谐波的波动方程为，求它的振幅、角频率、频率、周期、波速与波长． 分析 采用比较法。将题给的波动方程改写成波动方程的余弦函数形式，比较可得振幅、角频率、波速，从而求出频率、周期与波长。 解 将题给的波动方程改写为与平面简谐波的波动方程比较后可得振幅，角频率，波速，故有 ， 10-24 已知平面简谐波的表达式，求： (1) x=0处振动的初相及x=4m，t=2s时的相位； (2) x1=0处与x2=2m处的相位差。 解 (1)将题给方程写成波动方程的一般形式，得 时，有，与波