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初三数学第23章一元二次方程复习讲义 一、一元二次方程的定义 方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）其中二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c． 例1．求方程x2+3=2x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积． 例2．若关于x的方程（m+3）+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和． 例3．若关于x的方程（k2-4）x2+x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围． 例4．若α是方程x2-5x+1=0的一个根，求α2+的值． 1．关于的一元二次方程的一个根为1，则实数的值是（ ） A． B．或 C． D． 2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程的根，则这个三角形的周长是（　　） Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 二、一元二次方程的一般解法 基本方法有： （1）配方法； （2）公式法；　（3）　因式分解法。 联系： ①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到． ③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别： ①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根． ③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0． 例1、用三种方法解下列一元二次方程 1、x2+8x+12=0 2、3x2-x-6=0 用适当的方法解一元二次方程 1、x2-2x-2=0 2、2x2+1=2x 3、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3） 4、4x2-4x+1=x2+6x+9 5、（x-1）2-2（x2-1）=0 注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法 三、判定一元二次方程的根的情况？ 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac， 1．△=b2-4ac0一元二次方程有两个不相等的实根； 2．△=b2-4ac=0一元二次方程有两个相等的实数； 3．△=b2-4ac0一元二次方程没有实根． 例1、不解方程判断下列方程根的情况 1、x2-（1+2）x++4=0 2、 x2-2kx+（2k-1）=0 例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a的值为 例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，则△ABC为 例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由． 四、一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1 x2 x1 + x 2= - x 1 x2= 例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2,则（x1-1）（x 2-1）= 例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根， （1）试推导x1+x2=-，x1·x2=； （2）求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值． 五、一元二次方程与实际问题的应用 步骤:①审 ②设 ③列 ④解 ⑤答 应用题常见的几种类型： 1. 增长率问题 [增长率公式：] 例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少? 例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。 1、某工厂今年利润为a万元，比去年增长10%，去年的利润为 万元。 2、某商品连续两次降价10%后的价格为a元，该商品的原价应为 3、 某林场第一年造林100亩，以后造林面积逐年增长，