元次方程与元次方程的根.docVIP

3.6一元三次方程与一元四次方程的根 3.6.1 一元三次方程的根 一元二次方程的求根公式是众所周知的，下面我们给出一元三次与一元四次方程的求根公式. 设一元三次方程 （立方和展开公式： ） 令，得 （5-1） 所以，所有一元三次方程均可化为无二次项的方程. 设是方程（5-1）的根，即 现在讨论方程 设它的两个根与，则 （5-2） （5-3） 由于，所以 所以是一元二次方程 的两个根.解此方程得 即 这样，我们就把方程的根x0求出来了.这个公式称为卡丹公式.但是由于上式开了3次方，共有3个值，因而共有9个值，这9个值不可能都是方程（5-1）的根，对于取定的，只能取，使得是 3个开方值中的一个，是1的立方根. = 而的值 如果是方程（5-1）的根，则方程（5-1）的另外两个根为 现在讨论 （1）当 如D0,则是实数，实数的立方根有一个实数，两个共轭复数. 设是中的实数，是中的实数. 则是方程（5-1）的实数根（因为是实数），其余两个根分别为 这里显然有，所以三次方程有一个实根和两个共轭复数根. （2）当时， 设为实数值，由于知，=也为实数值，所以根为 另外两个根为 所以三个根都是实数，且有两个根相同. （3）当是两个共轭复数.令为实数，所以 由于实系数三次方程必有一个根是实数，设 （复数的开方：设z = r (cosθ+ isinθ)，其中r＞0，则z的n次方根有n个，它们是：为实数根也是实数，所以是共轭复数，这时方程的另外两个根是 由于 都是实数，所以三次方程的根都是实数，且是三个不同的实数. 例1 解方程 解 用代换，得 这时 即方程有一个实根，两个共轭复数根： 原方程的根为 例2 解方程 解 这里p=-12,q=16, D= 所以 方程的根为 两个重根 3.6.2 一元四次方程的根 我们给出一元四次方程的求根公式. 设实系数四次方程为 利用代换 消去y3,得 （5-2） 在上述方程加一参数得 取使得方括号里是完全平方项，这时判别式D=0，即 （5-3） 方程（5-3）除外均为已知数，是一个一元三次方程的根.因此可以求出. 如果是方程（5-3）的一个根，则 即 原方程变为解一元二次方程. 由此方程即解出.当然，这里的求法有三种，而又有两个解，这里不再叙述. 至于一元五次以上的方程，伽罗瓦理论告诉我们，一般并不存在根式解，即不会有求根公式.