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一元二次方程根与系数的关系习题 [准备知识回顾]： 一元二次方程的求根公式为。 一元二次方程根的判别式为： 当时，方程有两个不相等的实数根。 当时，方程有两个相等的实数根。 当时，方程没有实数根。 反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。 [韦达定理相关知识] 1若一元二次方程有两个实数根，那么 ， 。我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。 2、如果一元二次方程的两个根是，则 ， 。 3、以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 4、在一元二次方程中，有一根为0，则 ；有一根为1，则 ；有一根为，则 ；若两根互为倒数,则 ；若两根互为相反数，则 。 5、二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程 的两个根，那么．如果方程无根,则此二次三项式不能分解. [基础运用] 例1：已知方程的一个根是1，则另一个根是 ， 。 变式训练： 1、已知是方程的一个根，则另一根和的值分别是多少？ 2、方程的两个根都是整数，则的值是多少？ 例2：设是方程，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 变式训练： 已知关于的方程有实数根，求满足下列条件的值： （1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。 （4）两个根都小于2。 2、已知关于的方程。 （1）求证：方程必有两个不相等的实数根。 （2）取何值时，方程有两个正根。 （3）取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。 （4）取何值时，方程到少有一根为零？ 选用例题： 例3：已知方程的两根之比为1：2，判别式的值为1，则是多少？ 例4、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求的值。 例5、若方程与有一个根相同，求的值。 基础训练： 1．关于的方程中，如果，那么根的情况是（ ） （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）不能确定 2．设是方程的两根，则的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） 2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2－x+2=0（D）3x2－2x+1=0 4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） y2+5y－6=0 （B）y2+5y＋6=0 （C）y2－5y＋6=0 （D）y2－5y－6=0 5．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1， 那么x1·x2等于（ ） （A）2 （B）－2 （C）1 （D）－1 6.关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a0，那么根的情况是（ ） （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）不能确定 7.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（ ） （A）15 （B）12 （C）6 （D）3 8．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝ 9．如果关于x的方程2x2－(4k+1)x＋2 k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ ，（x1－x2）2＝ 11．若关于x的方程(m2－2)x2－(m－2)x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝ . 二、能力训练： 不解方程，判别下列方程根的情况： （1）x2－x=5 (2)9x2－6+2=0 (3)x2－x+2=0 当m= 时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根； 当m= 时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根； 已知关于x的方程10x2－(m+3)x+m－7=0，若有一个根为0，则m= ， 这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－，则m= ，这时方程的 两个根为 . 已知3－是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。 求证：方程(m2+1)x