元次方程的起源和应用.docVIP

一元二次方程的起源与应用 一年七班 唐梦雷 一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 起源 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。 三、一元二次方程的广泛应用 例1：下列关于的方程，哪些是一元二次方程？ （1）；（2）；（3）；（4）； （5） ；（6） ；（7）；（8） 注意点： ①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数． 例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。 例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 例3：若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。 例4：若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 （一）、一元二次方程的一般形式：，它的特征是：等式左边是一个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数；叫做常数项。 例1：方程的一次项系数是 ，常数项是 。 例2：（2012?洪山区模拟）若将一元二次方程化成一般形式后，一次项和常数项分别是 ； 例3：一元二次方程化为一般式后为，试求的值的算术平方根？ （二）、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。（简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式） 例1：（2013?牡丹江）若关于x的一元二次方程为（a≠0）的解是，则的值是 。 例2：（2012?鄂尔多斯）若是方程的一个解，则的值为（　　） A．3 B．-3 C．9 D．-9 例3：关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。 例4：已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。 （三）解一元二次方程的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ①直接开方法： 对于，等形式均适用直接开方法 例1、解方程： =0; 例2、若，则x的值为 。 下列方程无解的是（ ） B. C. D. ②配方法： 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。 例1：试用配方法说明的值恒大于0。 例2：已知x、y为实数，求代数式的最小值。 例3：已知为实数，求的值。 例4：若，则t的最大值为 ，最小值为 。 ③公式法： 条件： , 例1：（1）； （2）； （3） ④因式分解法： 十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， 如， ， 例1：的根为（ ） A B C D 例2：方程的解为（ ） A. B. C. D. 例3：解方程： 例4：已知,且,则的值为 例5:选择适当方法解下列方程： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ 四、专项训练： （一）整体思想：