全国初中数学联赛试题.docVIP

2003年全国初中数学联合竞赛试题 一、选择题（42分） 1.计算：等于( ) (A)5-4 (B)4-1 (C)5 (D)1 2.在十边形的所有内角中,锐角的个数最多是( ) (A)0 (B)1 (C)3 (D)5 3.若函数y=kx(k0)与函数y=的图象相交于A、C两点，AB垂直于x轴于B,则ΔABC的面积为( ) (A)1 (B)2 (C)k (D)k2 4.满足等式=2003的正整数对(x,y)的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设ΔABC的面积为1,D是边AB上一点,且.若在边AC上取一点E,使四边形DECB的面积为,则的值为( ) (A) (B) (C) (D) 6.如图,在ABCD中,过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切。若AB=4，BE=5，则DE的长为（ ） (A)3 (B)4 (C) (D) 二、填空题（28分） 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.若ΔABC是直角三角形,则ac=_______. 2.设m是整数,且方程3x2+mx-2=0的两根都大于-而小于,则m=______. 3.如图,AA/、BB/分别是∠EAB，∠DBC的平分线. 若AA/=BB/=AB，则∠BAC的度数为________. 4.已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是__ __. 三、（20分）在ΔABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE=DF；过E、F分别作CA、CB的垂线，相交于P.设线段PA、PB的中点分别为M、N. 求证：（1）ΔDEM≌ΔDFN.（2）∠PAE=∠PBF. 四、（25分）已知实数a、b、c、d互不相等，且a += b += c + = d += x,试求x的值. 五、（25分）已知四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16。 这样的四边形有几个？（2）求这样的四边形的边长的平方和的最小值. 参考答案 一、选择题（42分） 1. (D) 解:原式==1.故选(D) 2. (C) 3. (A) 解:设A点的坐标为A(x,y),则xy=1,故ΔABO的面积为.又因为ΔABO与ΔCBO同底等高,因此,ΔABC的面积=2×ΔABO的面积=1.故选(A) 4.B 解:由题设有,而, 所以=0,故xy=2003.又因为2003为质数,因此有 ,故选(B). 5. (B) 解:如图,连结BE,SΔADE=1-. 设=x,则SΔABE=1-x,SΔADE==.所以.故选(B). 6.D 解:连结AC,CE.因为AE∥BC,所以ABCE是等腰梯形,所以AC=BE=5. 又因为 DC∥AB,DC与圆相切,所以∠BAC=∠ACD=ABC. 所以,AC=BC=AD=5,DC=AB=4. 又 DC2=AD×DE,所以DE=.故选(D). 二、填空题（28分） 1. 解:设A(x1,0),B(x2,0),由ΔABC是直角三角形知x1与x2必异号,而x1与x2是方程ax2+bx+c=0两个根,故x1·x2=0.由射影定理知丨OC丨2=丨A0丨·丨BO丨, 即c2=丨x1丨·丨x2丨=丨丨, 故ac=-1. 2.解:由题设知:3(-)2+m(-)-20 (1);3(-)2+m(-)-20 (2). 由(1),得,故m4;由(2),得m3.而m是整数,故m=4. 3. 解:设∠BAC的度数为x,因为AB=BB/,所以∠B/BD=2x,∠CBD=4x, 因为AB=AA/,所以∠AA/B=∠ABA/=∠CBD=4x. 因为∠A/AB=(1800-x), 所以(1800-x)+4x+4x=1800.解得x=120. 4.已知正整数a、b之差为120,它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍,那么a、b中较大的数是____. 解:设(a,b)=d,则a=md,b=nd,其中mn,且m与n互质.于是a×b的最小公倍数为mnd.依题意有 ,即 由mn,据②,得 或 或 或. 根据①,只能取 ,可求得d=15,故a、b中较大的数是md=225. 三、 证明：如图，据题设可知，DM平行且等于BN，DN平行且等于AM， 所以，∠AMD=∠BND。 因为M、N分别是RtΔAEP和RtΔBFP斜边的中点, 所以,EM=AM=DN,FN=BN=DM, 又已知DE=DF,所以ΔDEM≌ΔDFN. (2)由