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关于反例在数学分析教学中的作用 在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。当一个数学问题被提出来后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象判断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证，从而否定这个命题。后者即为通常所说的反例。可以说，数学是在归纳、发现、推广中发展的。反例在数学的发展中功不可没。反例不但在数学的发展和证明中有同等重要的作用，而且，作为后人，在学习、领会和深入钻研数学的时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，如果命题有错误，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。 问题：反例在数学分析教学中有哪些作用？ 答：其作用主要体现在以下几方面： （一）反例是强化概念的有力工具，也可以深化学生对知识的理解。 在数学教学中，教师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，弥补正面教学的不足，从而加深学生对知识的理解，给他们留下深刻的印象。例如：数学分析中函数的单调性，数列极限的运算法则，复数等概念和运算法则等等。对于初学者来说，对它们的理解常常模糊不清，在讲授这些知识的时候，如果从正面论述，同学们对它们的理解并不深刻。如果配合一些反例说明，效果就不一样了。 例1：若，, 则,反之是否成立？ 分析：反之不成立。直接说明不好入手，而举出反例来说明，就能使问题解决。 例如：, , 显然 存在，但an和均不存在。 例2：试判断“在第一象限内是增函数”是否正确？ 分析：初学时我们都会认为“在第一象限内是增函数”但仔细思考我们就会发现这一命题是错误的。例如当，显然，但 ，显然不符合增函数的定义。 （二） 反例是帮助掌握定理、公式和法则的得力措施。 初学者在学习公式、法则，常常侧重于记忆其结论，不注意公式、法则的运用范围，使用时往往不注意分析具体条件而生搬硬套。因此，教师在讲授时，不仅要讲清其条件、结论、实际意义与应用范围，并根据学生认识状况适当举出反例，这样更能帮助学生牢固地掌握所学的定理、公式和法则。 例3：由导数的定义易证：可导函数必定是连续函数。那么“连续函数必定是可导函数”吗？ 只需举出一个简单的例子：就可以说明问题。事实上由图像知其连续，但是其显然不可导。 例4：下面命题是否成立：若在内可导，则在内必定存在，使得？ 事实上，举出这样的反例：=易知该命题不成立，因为虽然 在内可导（但在上不连续），但是由，，而在内,所以在内不存在,使得,这表明拉格朗日中值定理中, 在上连续的条件不可少,类似,可通过反例=说明该定理中在内可导的条件不可少,通过这种方式强调该定理中的两个条件缺一不可,相信会给所学者留下深刻的印象。 （三）反例是否定一个命题的重要方法。 （四）反例是驳斥谬论、揭露诡辩、修正错误的重要手段，有助于正确掌握题解方法。 面对一个问题的解答，运用反例可以检验答案是否正确，如果发现不对，将引导我们去追寻问题错误的所在。 例5 已知，求。 错解：因为，所以，所以也就是 的反函数，所以有=. 正解：因为，所以. 利用图象的方法很容易解释：如果由直接求，那么 与是否互为反函数呢？事实上不是的。因为与显然不是关于对称。 （五）反例可以提高解题的速度 凡是从正面肯定不易而从反面否定较易的选择题，可以通过反例来解决。 例6：满足的的取值范围是（ ）. A．[-1，-] B．[-，0] C．[0，] D．[，1] 解：把A、B中的代入已知不等式，得 。此不等式不成立，因此排除A和B。把C中的0代入已知不等式，也不成立，C又被排除，故应选择D。 （六）反例有助于提高学生的数学思维能力 在数学教学中，经常引导学生分析命题中条件的充分性和必要性，是培养学生思维能力的一个重要方面，为了分清条件的充分性与必要性使用反例是非常有好处的。 例如：如果A：函数在处连续，则B：在处也连续，所以A是B的充分条件，为了说明A不是B的必要条件，我们举出一个反例在处不连续，如设=，则有在处连续，而 在处不连续。 反例有助于培养学生的科学概括、深入钻研、自觉纠错的