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关于实数完备性相关定理等价性的研究 摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性因此有多个实数集的完备性基本定理实数集完备性基本定理等价性证明Research about the equivalence theorems of completeness of real numbers Abstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven related about supremum and form a ideal proof “loop”. 显示对应的拉丁字符的拼音 字典 Key words: set of real numbers， completeness， fundamental theorem，equivalence， proof. 引言：我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。本文的论证结构为确界存在定理证明单调有界定理证明区间套定理证明有限覆盖定理证明聚点定理证明致密性定理证明柯西收敛准则证明确界存在定理。 1实数完备性相关定理的论证 且对于任意，只要就有一般的，考察数集中的元素的无限小数表示中第n位小数的数字，令它们中的最大者为，并记 显然也不为空集，并且对于任意,只要，就有不断的做下去，我们得到一列非空数集，和一列数，满足 令 令下面我们分两步证明就是S的上确界。 设S，则或者存在整数，使得，或者对任何整数有. 若，便有； 若，由的定义并逐个比较x与的整数部分及每一位小数， 即知，所以对任意的，有，即是数集S的上界。 (2)对于任意给定的，只要将自然数取得充分大，便有，取，则与的整数部分及前位的小数是相同的，所以，即任何小于的数不是数集S的上界。即是数集S的上确界。 同理可证非空有下界的数集必有下确界。 1.2 确界存在定理证明单调有界定理 单调有界定理：间调有界实数列必有极限。 单调有界定理还可描述为：若R是单调增加的有界数列，则必有极限，且。 若R是单调减少的有界数列，则必有极限，且。 若R是一单调增加的无界数列，则规定=,否则若R是一单调减少的无界数列，则规定= , 证明：设数列是单调增加的，即，且M，使得M, i=1,2, 。是非空的有界实数集，由确界存在定理知，有上确界，记为：=。由上确界的等价定义1知，，i=1,2, ,有成立；并且对,N，使得,故当nN时，由的单增性知：，，即，由极限的定义得：。 若是单调下降的，可用上面类似的方法证明。 且有sup==inf，，n=1,2, ，即属于所有的闭区间。 若也属于所有的闭区间，则同样可得：，n=1,2, ，当时，由极限的夹逼性得，，由此即说明了区间套的公共点是惟一的。 1.4 区间套定理证明有限覆盖定理 有限覆盖定理：设H为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖。 证明：（反证法）假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开覆盖将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为 再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为． 重复上述步骤并不断进行下去，则得到一个闭区间列，它满足 n=1,2,3, 即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖。 由区间套定理，唯一的一点，n=1,2，由于H是的一个开覆盖，故存在开区间设于是，存在n,当n充分大时,有这表明只须用H中的一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾，从而证明必存在属于H的有限个开区间能覆盖 1.5有限覆盖定理证明聚点定理 聚点定义：设S为数轴上的点集，为定点（它属于S，也可不属于S），若的任何邻域内都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点。 同时聚点同时具有