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关于常用曲线外一点到曲线的垂足计算方法的探索 【摘　要】 在测量外业计算过程中，经常遇到轴线外一点到轴线垂足点的计算问题，为简化计算，本文推导出来一些常用曲线垂足点坐标的计算公式，对于椭圆曲线，无法推导出简化公式，给出了编程计算的方法。 【关键词】(x)的几何意义表示对应点切线的斜率，如图2所示，我们假定曲线外一点P（Xp,Yp），当过P点做到曲线的垂线,垂足点坐标为N（Xn,Yn），设P 点到N点斜率为K2，过N点的切线斜率为K1，必满足K1×K2=-1。解方程即可得到N点的X坐标Xn。利用函数方程可得y=f(x),即N点的Y坐标。根据这个思路我们分别对直线、圆曲线、抛物线、椭圆四种常用的曲线进行计算比较，求导出这些方程的一阶微分方程式，并建立并解算方程，结果如下： 直线：直线的标准形式为Y=aX+b,由两点已知坐标或已知起算点坐标和方位角都可以转化成此标准方程。对直线方程求导得 Y′=a 根据两直线斜率积为-1建立方程得 圆曲线：为了方便，以曲线起点做为坐标原点，起点的切线方向为Y轴建立施工坐标系。考虑X0的情况，得出圆曲线方程式为： 对圆曲线方程求导，得出圆曲线一阶微分方程， 由于所得图形关于Y轴对称，现在考虑曲线左偏的情形，对圆曲线上任意点N（Xn,Yn）可知经过该点切线的斜率，得到一条直线方程L1，曲线外一点P到N点也可以建立一条直线方程L2，因这两条直线的正交关系，两条斜率积为-1，可以得一方程式， 求解得Xn坐标，利用圆曲线方程，求得Yn坐标。 抛物线：抛物线方程的标准方程为，Y=ax^2+bX+c,(X=0)。求得其一阶微分方程为： Y′=2ax+b,与上面圆曲线相似，得方程式,不考虑方程虚根，方程式的解如下: 此解在H2+4F3≥0时成立。 椭圆：椭圆标准方程为X^2/a^2+Y^2/b^2=1,(a≠0,b≠0) 。因为椭圆为对称曲线，只考虑X0,Y0的情况。方程式可以写成：Y=b*(1-X^2/a^2)^0.5,求一阶导数后，得出： 建立方程式: 由于这个方程式求解后无简化解，根据编程计算中迭代计算求方程根的办法我们找到了两种办法，一种是利用卡西欧计算器中Solve 的功能，将方程式输入，求得Xn，另一种是借鉴道路计算中反算的程序，不断的循环计算A点到垂足点的距离，直到距离小于规定的小值，循环结束,因为这两种方法对直线、圆曲线、抛物线均可运用，在这里简述一下。 3 求近似解 图表 2 在图3中，A（Xa,Ya）