关于梯度散度和旋度的些想法.docVIP

关于梯度、散度和旋度的一些想法 ? 在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。?标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。 下面两个图中，标量场是黑白的，黑色表示大的数值，而其相应的梯度用蓝色箭头表示。 梯度是矢量，其大小为该点函数的最大变化率，即该点的最大方向导数。??梯度的方向为该点最大方向导数的方向，即与等值线（面）相垂直的方向，它指向函数增加的方向。 在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。??梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。 梯度和一个单位向量点积给出了表面在该向量的方向上的斜率。这称为方向导数 一个标量函数的梯度记为： 右侧第一项表示了在x方向的方向导数，余类推。 ? 三维空间中的一个矢量可以沿x、y和z方向分解，现假设空间的某一点被赋予的矢量能够沿着这3个方向分解为大小为P、Q和R的三个分量，表示为（P，Q，R）。注意，由于空间中每个点被赋予的矢量一般来说是不同的，所以P、Q和R的大小在空间的不同的点一般有不同的值，也就是说P、Q和R中每一个都是x、y和z的函数。??对三维矢量场来说，我们可以对其中一个点的矢量，假设为（P，Q，R）进行以下操作：?1、求出dP/dx＋dQ/dy＋dR/dz的值，其中dP/dx表示求P对x的一阶偏导数，其余雷同；??2、将这个值赋予这个点??对整个矢量场的每个点均进行以上运算，就等于给整个三维空间的每个点都赋予了一个值，于是我们就得出了一个新的标量场，这个标量场就叫做原来的矢量场的散度(divergence)，这种运算就叫做“对矢量场取散度”。 其计算也就是我们常说的“点乘”。?散度是标量，物理意义为通量源密度。??散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源） 旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从斯托克斯公式里理解?? 设有矢量场 ， 在坐标上的投影分别为 ，， 的矢量叫做矢量场A的旋度，记作?curl A?，或?rot A，即 行列式记号 ? ? ? 旋度curl A的表达式可以用行列式记号形式表示： 一般来说，我们对于通量的求得用到散度，对环量的求得要用到旋度。 从赵凯华和陈熙谋写的《新概念物理教程.电磁学》里面摘点东西出来，希望能加深理解 斯托克斯公式（来源：维基百科，实在是不想手写了） ?3?上的斯托克斯公式 设?Γ?为分段光滑的空间有向闭曲线，S?是以为边界的分片光滑的有向曲面，Γ?的正向与?S?的侧符合右手规则，函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在曲面?S（连同边界?Γ）上具有一阶连续偏导数，则有 ? ? 旋度定理可以用来计算穿过具有边界的曲面，例如，任何右边的曲面；旋度定理不可以用来计算穿过闭曲面的通量，例如，任何左边的曲面。在这图内，曲面以蓝色显示，边界以红色显示。 ? ? ? 这个公式叫做??3?上的斯托克斯公式或开尔文－斯托克斯定理、旋度定理。这和函数的旋度有关，用梯度算符可写成： 它在欧氏3维空间上的矢量场的旋度的曲面积分和矢量场在曲面边界上的线积分之间建立了联系，这是一般的斯托克斯公式（在?n=2?时）的特例，我们只需用欧氏3维空间上的度量把矢量场看作等价的1形式。 该定理的第一个已知的书面形式由威廉·汤姆森?(开尔文勋爵)给出，出现在他给斯托克斯的信中。 类似的，高斯散度定理 也是一般的斯托克斯公式的一个特例，如果我们把矢量场看成是等价的n-1形式，可以通过和体积形式的内积实现。 微积分基本定理和格林定理也是一般性斯托克斯定理的特例。 使用微分形式的一般化斯托克斯定理当然比其特例更强，虽然后者更直观而且经常被使用它的科学工作者或工程师认为更方便。 另一种形式 通过以下公式可以在对坐标的曲线积分和对面积的面积积分之间相互转换：