关于极限的般解法及其若干习题.docVIP

计算极限的一般方法和若干习题 各位同学： 数列和函数的极限一直是我们进来学习的主角。不知不觉之中，我们已经学习了很多计算极限的方法，不知大家有没有自己不断的小结，归纳出自己认为有效的方法？ 我根据自己的体会和有关书籍的启发，求极限的一般方法大致可归结为： 0. 利用极限的定义； 1. 利用极限的四则运算和复合运算法则； 2. 利用无穷小的运算法则； 3. 利用无穷小与无穷大的关系； 4. 利用极限基本定理：，其中为无穷小； 5. 利用两个重要极限； 6. 利用单调有界准则； 7. 利用夹逼准则； 8. 利用等价无穷小代换； 9. 利用递推公式； 10. 利用若干初等数学方法：拆项、合并、因式分解，约分、取对数、变量代换等技巧； 11. 利用； （反过来行不？） 12. 利用； 13. 利用Heine定理（即利用函数极限与数列极限的关系）； 以下方法还没有学习，请注意在以后学习时联系极限计算 14. 利用函数连续性； 15. 利用导数定义； 16. 利用著名的洛必塔法则； 17. 利用微分中值定理； 18. 利用Taylor公式； 19. 利用定积分定义和定积分性质； 20. 利用收敛级数的性质。 大家一看可能会吃惊，其实，在具体求解时，几种方法可能需要结合起来，所以，还有复合方法呢！这么多啊，怎么记得住？ 是的，靠记忆是靠不住的，学数学考死记硬背肯定行不通，重要的是理解，能具体问题具体分析，靠清晰的概念和扎实的运算能力做支撑，一切都能化解。金庸武侠小说里有句话，我印象深刻：“无招胜有招”，意思指武林中的功夫，只有练到一招一式都看不出来，所有招数都融会贯通，连接自如，你的招数在不知不觉中使出来时，人家看起来你的功夫里包含了这一门那一派的，但又不是这一派那一门的，你的功夫才是上乘的。学数学和科学与练功的道理一样。请你自己问自己，自己回答自己：你现在的招数有多少？练得如何？ 下面的例题不分数列和函数的极限，因为用的方法是相通的。我也不加分类，我们需要学的本事不是“对号入座”，而是综合运用，要争取达到“无招“的境地。 再次强调，本次材料不是提供给大家看的，而是让大家做的！所以，看到每一题后，先自己做！ 否则，我花了好大力气准备的东西，被浪费了。 例1 设，求。 解：因为，所以有 ， 这样， （到此，似乎又卡住，怎么再化下去？ 注意到，一下子又找到“又一村”！） ， 至此， 已经成为易物了。没有任何困难。 本题用的是初等变换的方法，即合并和拆项的方式，这要靠熟练的运算技巧。这种技巧是靠平时练成的。 有同学问：此类问题是否需要先证明极限的存在性，再计算极限？如果你能求出这个极限值，那么就不必证明极限的存在性了。因为这个极限值就证明了极限的存在。对于给出数列的递推公式的题目，那要注意，需要证明极限的存在性，否则会出荒谬的结果。 例2（天津大学1995年竞赛题）设，求。 分析：通项形式挺复杂，怎么办才好？总的思路是先尽量化简为上策，形式复杂总不是件好事。注意到求和号里面有，所以从此下手。 解： （看到希望了） ， 所以所求极限 属于型极限！ （我们要想到与有关！） 。 本题的评分点分为两条：一是通过求和与拆项，化简；二是求一个较常规的极限。第一部分不成功，第二步无法做。 例3 （南京大学1995年竞赛题）求 分析: 初看题目，见到这么多根号，第一反应是赶紧做“有理化”，消去根号。但是真的做起来，会发现反而是问题复杂化（你可以一试）。所以，要去掉“思维定势”，换一条思路：分项。 解：， （到此，可用等价无穷小代换） ， 这是显然的结果了 。 分成2项是最简单的运算，这么一来，题目就变得十分简单。做数学题的过程，不就是“化困难为容易，化复杂为简单”的过程吗？ 千万不要给自己找麻烦！ 例4 （江苏省1998年竞赛题）求 。 分析：我看到题的第一反应是利用无穷小代换公式 ，因为分母是这个形式，而分子也可拆成2个这样的形式：和。但这样做后的结果仍然是型的极限。（请你试试看） 所以赶紧更换思路，用常规的“有理化”方法。 解： （这时，可以对分子分母用 了） 例5 （2000年考研数一） 求 分析：本