冲刺天高考文科数学解题策略专题角函数与平面向量角函数的图像性质及其变换.docVIP

近几年高考对“三角函数”一章三角的考查要求略有降低，而对三角函数的图像、性质的考查有逐步加强的趋势. “考试大纲”将三角函数的图象和性质，由“了解”改为“理解”，提高了一个层次.因此，考生在复习中要作出相应的调整.它们的难度值一般控制在0.5-0.8之间，且在解答题中大多需要利用三角函数的变换和性质求解. 考试要求 ⑴理解正弦函数、余弦函数的定义、性质,理解正切函数的单调性；⑵了解函数的物理意义，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，了解参数 对函数图像变化的影响. 题型一 由“参”定“形”，由“形”定“参” 【例1】 点拨：（1）在函数y＝Asin（ωx＋(）的有关问题中，只要确定了这三个参数A，ω，φ，则该函数的图像、性质等就出来了；同理，（2）中，已知图像求解析式问题，关键也是确定三个参数A，ω，φ，最困难的就是求φ. 于是，本题的答案为②、③． 例2.已知函数的图象如图所示, 则它的解析式为. 点拨：已知图像求解析式问题，关键也是确定三个参数A，ω，φ， 尤其是求φ. 解析:由图知 以下求(的值有多种方法可供选择： 易错点 例（１）中，选项“”的含义容易被误解；例（2）中，已知图像求解析式中的φ时，常常由于方法不当或范围不清晰而不能求出准确值. 点评：三角函数的图像由若干个参数确定(即由“参”定“形”)，同时，已知三角函数的图像也能够确定这若干个参数（即由“形”定“参”).本例所用的方法带有普遍性，用来求解有关函数y＝Asin（ωx＋(）的图象问题十分奏效. 变式与引申1：若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为（ ） A． B. C. D. 第（1）问简单，第（2）问的函数图像有了变化：向右移动个单位，再向上移动1个单位；其所求的面积就是图中直线, ，x轴以及y＝sin（3x－π）＋1的图像 所围成图形的面积. 可以把直线y=1上方的两 个“波峰”拿一个填入“波谷”，得到一个矩形 和一个“波峰”，其面积容易求出. 【解析】（1）T=, n=3,一个周期的面积为. （2）S=1×(-)+=. 易错点: 第（2）问审题容易出问题，结合图像能够帮助理解题意. 点评：本题主要考查了正弦函数的图象的平移变换、对称变换及其应用，解题时要注意观察题目函数图像的特点随机应变，如本题可利用图像的对称性解题. 变式与引申2：已知函数，x∈[0, ]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，求该图形的面积. 题型三 三角函数性质的应用 【例4】已知函数（，且均为常数）， （1）求函数的最小正周期； （2）若在区间上单调递增，且恰好能够取到的最小值2，试求的值． 点拨 研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如）、一种三角函数的形式． 【解析】（1） （其中）， 所以，函数的最小正周期为． （2） 由（1）可知：的最小值为，所以，．……… ① 另外，由在区间上单调递增，可知在区间上的最小值为， 所以，，……… ② 联立①②解得：. 易错点: 在题（2）中，不能利用隐含条件”的最小值2”正确列出方程组，还有计算时也容易出错. 变式与引申3：已知函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是，，.（1）求的解析式，并写出的单调递减区间；（2）设，求函数的值域. 之前时，应明确平移的量是什么.还要充分运用数形结合、转化等数学思想解题. 【解析】将函数化为，由条件得 ， 下一步是关键是求出参数c，显然的周期，其半周期的长度恰好为3.而可看成的图象与直线的交点的横坐标，且由半 周期的长度为3可知，相邻交点间的距离也为3，从而由 三角函数图象的特征知道，，否则无法满足半周期为3. 的图象与与直线的交点只可能是在的各 对称中心，对称轴向上平移了3个单位，即，如图 .从而,单调递减区间为. 易错点 本题易出错的地方是平移、伸缩时，解析式的变化，再就是用等差数列的条件时讨论不全． 变式与引申4：函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f(x)= +的性质，并在此基础上，作出其在的草图． 本节主要考查 ⑴三角函数的图象，包括：①y=sinx、y=cosx、y=tanx的图象；②“五点法”画出y=Asin（ωx+φ）的简图；③利用平移和伸缩变换画出y=Asin（ωx+φ）的图象；⑵三角函数性质，包括奇偶性，单调性，周期性，最值；⑶三角函数的图象和性质的综合应用；（4）等价转化，数形结合