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几何（二）曲线图形 小学数学当中，我们学习了一些简单的几何图形，充分掌握这些图形的性质特点及周长和面积的计算方法是我们解决由曲线图形问题的重要前提。 名称 图形 周长公式 面积公式 长方形 周长=2（a+b） 面积=ab 正方形 周长=4a 面积=a2 三角形 周长=a+b+c 面积=1\2ah 平行四边形 周长=2(a+b) 面积=ah 梯形 周长=a+b+c+d 面积=1\2(a+b)h 菱形 A C B D 周长=4a 面积=1\2AC×BD 1、组合图形的面积 在求解组合图形的面积时，中心思想只有一个：把不成规则的变为规则的，把不可求的变为可求的，把我们不熟悉的变为我们熟悉的。在小学奥数的几何问题中，这个思想不单单可以在求组合图形面积的时候应用，求解立体图形的表面积和体积问题时候一样也是解决问题的法宝，甚至可以说是全部小学奥数几何问题的思想精髓。 在求解几何图形的面积时，我们通常可以通过以下思考方法把图形转换成我们所熟知的图形。 （1）加减法 把要求的图形转换成几个规则图形相加或者相减的形式，这种解决图形补问题的方法，称为加减法。 （2）割补法 把要求的图形通过切割再拼补成规则图形，这种方法称为割补法。 （3）旋转平移法 把要求的图形通过旋转或者平移，正好可以和图形的其他部分拼成规则图形，这种方法称为旋转平移法。 （4）重叠法 要求的组合图形可以看作是几个规则图形的重叠部分，可以应用容斥原理求得图形的面积，这种方法称为重叠法。 （5）比例法 把要求的图形分成几个部分，通过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称为比例方法。 2、图形旋转的问题 在这里，我们主要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题，一般情况下，我们所能遇到的有以下两种情况： （1）求图形一边扫过的面积 在遇到这类问题时，我们只要先找到要求的是哪条边扫过的面积，再看这条边是以哪个点为圆心运动。首先你让这条边以这个点为圆心按照题目的要求旋转，旋转停止后，这条边旋转所得到的面积就是你要求的图形一边扫过的面积。 （2）求图形扫过的面积 在求图形一边扫过的面积的基础上，要注意，图形中最长处旋转时所成图形，我们在旋转的图形一边停止旋转时，在相应的位置补上图形的其他部分，就很容易地找到整个图形扫过的部分。 （3）几个特殊的问题 ①活动范围的问题，我们先来看看下面几个问题。 假设茫茫的草原上有一木桩，桩子上用一根30米的绳子栓着一只羊，问羊能吃到的草的面积有多大？ 草场的主人因为业务发展，准备建羊圈，但是因为资金短缺，所以只先建了一道墙，于是把羊还是用30米的绳子栓在了墙角边，问羊这个时候能吃到草的面积是多大？ 羊圈建成了，羊在平时被拴在羊圈的西北角，羊圈长20米，宽10米，问羊这个时候能吃到的草的面积是多大？ 你注意到了吗？栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化，羊能吃到的草的范围活动的半径在跟着变化。那么，我们说看变化，找规律，是解决羊吃草一类问题的重要思想。另外，数学源自生活，通过想象生活中的情境，比照数学题，寻找变化的规律也是一种不错的方法。 ②滚硬币的问题 把两枚一角钱的硬币挨放在一起，固定其中一个，把另一个沿着其周围滚动。当滚动回到硬币原来的位置时，想一想滚动的那个硬币它自己转了多少周？ 注意观察：滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离实际上是以两个硬币的半径为半径的一个圆周长，而硬币自转的周长是以自身为半径，前者是后者的几倍，即是硬币自转了几周。这也是一切硬币滚动类问题的特点，常见的还有齿轮，滑轮等。 2 b h a a a b h a aa a a h b