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专题48 动态几何之多形式变化问题 数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。 在中考中，动态几何多形式变化问题命题形式主要为解答题，包括点动和线动问题的综合，点动和面动问题的综合，线动和面动问题的综合等。 在中考压轴题中，动态几何多形式变化问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。 1. 如图，在抛物线中， 抛物线顶点为B，与y轴交于点A，点E为线段AB中点，点C（0，m）是y轴负半轴上一动点，线段EC与线段BO相交于F，且OC：OF=2：。 （1）求m的值； （2）动点P从B点出发，沿x轴反方向匀速运动，点P运动到什么位置时（即BP长为多少），将△ABP沿边PE折叠，△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的，求此时点P的坐标。 【答案】解：（1）∵， ∴B（，0）、A（0，2）、E（，1）。 ∵CO：OF=2：， ∴CO=﹣m，FO=m，。 ∵， ∴。 整理得：m2+m=0。∴m=﹣1或0 。 ∵m＜0，∴m=﹣1。 （2）在Rt△ABO中，， ∴∠ABO=30°，AB=2AO=4。 ①当∠BPE＞∠APE时，连接A1B，则对折后如图1，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。 ③当∠BPE＜∠APE时．则对折后如图2，A1为对折后A的所落点，△EHP是重叠部分。 ∵E为AB中点，∴S△AEP=S△BEP=S△ABP。 ∵S△EHP=S△ABP，∴S△EBH=S△EHP==S△ABP。 ∴BH=HP，EH=HA1=1。 又∵BE=EA=2，∴EHAP。∴AP=2。 在△APB中，∠ABP=30°，AB=4，AP=2， ∴∠APB=90°。∴BP=。∴点P的坐标为（）。 综上所述，点P的坐标为（）或（）。 【考点】二次函数综合题，折叠和单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的判定和性质，二次函数的性质，折叠的性质，分类思想和转换思想的应用。 2. 如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB=5，AD=4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决． （1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度． （2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）． （3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）． 【解析】 由AB=BE，BM⊥AE，∴．∴．由△BEM∽△FEB，，∴FG=10． ..3分 （2）当0≤x≤4时，；当4＜x≤10时，y=－2x+24，当y=10时，x=7或． .6分 考点：1.勾股定理；2.相似三角形的判定与性质；3.分段函数. 3. 正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF. （1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：　 　； （2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转900，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出EF、EQ、BP三者之间的数量关系： 　 　. 解：（1）垂直且相等。 （2）EF、EQ、BP三者之间的数量关系为：。 证明如下： 如图，取BC的中点G，连接FG， （3）补图如下，F、EQ、BP三者之间的数量关系为：。 【解析】 4. 如