勒襄特变换.docVIP

§6.哈密顿正则方程 引言：哈密顿正则方程是与拉氏方程：等价的动力学方程。，这组拉氏方程是s 个关于广义坐标的二阶常微分方程。在这组拉氏方程中的拉氏函数L它是广义坐标q，广义速度以及时间t 的函数：。如果我们把拉氏函数中的广义速度变换成→广义动量，即那么就可以将上面的s 个拉氏方程①化成2s 个一阶常微分方程，而且这2s 个一阶常微分方程还具有一定的很漂亮的对称性②具有一定的对称性。要想把拉氏函数：变成是广义坐标、广义动量P及时间t 的函数→，以及将s个拉氏方程化成2s 个一阶常微分方程。将会用到勒襄特变换这一数学工具。∴得先介绍一下： 勒襄特变换（只作了解，不作要求，大纲不要求讲这部分内容）。则由高等数学的知识可得此函数的全微分：在此我们令,,[(i=1,2)]……①并以和为新的变量定义一个新函数g: ……②如果我们从变换方程①解出，使是的函数，即，再代入上式②中去，那么，g 就是只含新变量的函数了，即：。我们先对②式两边进行微分，则得：又∵将旧变量换成新变量之后，新函数g 就是新变量的函数：那么对它微分就有：……*′，将这个等式与上一等式进行比较就可得到变换关系：，……③前面我们利用变换方程①把旧的变量x1,x2及旧的函数变为新的变量及新的函数的方法，就称为勒让德变换。我们从方程①结合方程③又可看出，勒让德变换具有完全的对称性：新变量就是旧函数对旧变量的偏导数，而旧变量又恰好是新函数对新变量的偏导数。所以说勒让德变换具有很好的对称性。虽然，我们在前面是以两个变量的情况推出勒让德变换的，但是，由上面的推导结果，我们很容易把勒让德变换推广到n个变量的情形，即，(i=1,2,3……n)。除此之外，还可以对它再加以推广。如果在已知函数f中除了含有之外还含有与（i=1,2,3……n）（j=1,2,3……k）（…,…）看作为参数，而不参与变换，则上述的推导过程完全照旧，当然此时函数g 中含有，那么不难得到此情形下的变换方程为：，（i=1，2，……n），由于此时的g 函数通过f 而含有，因此，由上面的*和*′式可以直接得到附加关系：（j=1，2，……k）等于拉氏函数L对广义速度的偏导数：。在开始的时候我就讲过，如果将拉氏函数中的广义速换成广义动量，亦即将，那么就可将完整、保守系的拉氏方程化成2s 个一阶常微分方程，如此化得的2s 个一阶常微分方程就是与拉氏方程等价的哈密顿正则方程，所以现在我们先对拉氏函数作勒让德变换。在这里将作为进行变换的独立变量，相当于上面一般情形中的x,而及t 视为不参与变换的参量，它们相当于前面的y,于是就可引入作为新的变量，这里的α=1,2……s。那么，我们由这s 个变换方程就可解得s 个广义速度将它代入拉氏函数中去就可得到。例如在有心力场中有一质点，其拉氏函数：　则根据变换方程可得：可见它是一径向动量。同理又可以得到-----动量矩，由此两式于是就有：可见通过变换方程变换之后就可得到用广义坐标和广义动量表示的广义速度。 正则方程的推导： 另外，由于引入这一变换关系：之后，我们前面所定义的哈密顿函数：也就可以写成为：　那么，将从变换方程解得的广义速度代进上式，显然哈密顿函数H 也就可以化成是广义坐标、广义动量和时间的函数：。现在我们就在通过这样变换后的基础上推出正则方程。 ∵，如果在这里仍把L看作的函数，则对此等式两边微分则有： [在此我们要用到保守系的拉氏方程: ∵∴由拉氏方程可得∴ ∴……①如果考虑到经变换以后哈密顿函数H它是q,p,t的函数：那么对H的全微分应该是：……②比较①②两式，于是就可得到： α=1，2，……s。这是2s 个对广义坐标和广义动量的一阶常微分方程组，可见它们具有非常简洁的对称性，因此就称它们为正则方程。这一组方程首先是由哈密顿得到的，因此也就将它们称作为哈顿正则方程，有的书上还将它称作为哈密顿运动方程。由①②两式的比较我们还可以得到一个附加关系：,这一附加关系没有什么重要的用途，它只是给出了哈密顿函数和拉氏函数的关系，指出了H是否显含时间t 完全处决于拉氏函数L是否显含时间t 。下面对给出的哈密顿正则方程作两点必要的讨论。3.讨论： 1.由推出的正则方程可以看出：正则方程是以广义坐标q 和广义动量p作为独立变量的2s 个一阶常微分方程，q 和p 就称作为正则变量。在正则方程中，q 和p 是等同地位的自变量，我们知道拉氏方程求解的是广义坐标和广义速度； 2.而正则方程所要求解的是和；3.∵正则方程是从完整约束、保守系的拉格朗日方程推出来的，所以完整保守系的拉氏方程运用的条件也就是正则方程成立的条件，因此正则方程成立的条件也就是：完整约束、主动力都具有势能的情况，即完整约束、保守力系。前面我们从拉氏方程推出了正则方程，反过来我们从正则方程中消去广义动量也可以推出s 个拉