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参数方程与极坐标 目标认知考试大纲要求：重点、难点：知识要点梳理:知识点一：极坐标，为极点，为极轴，选定一个长度单位和角的正方向（通常取逆时针方向），这就构成了极坐标系。　　2．极坐标系内一点的极坐标　　平面上一点到极点的距离称为极径，与轴的夹角称为极角，有序实数对　　就叫做点的极坐标。　　（1）一般情况下，不特别加以说明时表示非负数；　　　　 当时表示极点；　　　　 当时，点的位置这样确定：作射线，　　　　 使，在的反向延长线上取一点，使得，点即为所求的点。　　（2）点与点（）所表示的是同一个点，即角与的终边是相同的。　 　　　综上所述，在极坐标系中，点与其点的极坐标之间不是一一对应而是一对多的对应，　　　　 即，, 均表示同一个点.3. 极坐标与直角坐标的互化 　　当极坐标系与直角坐标系在特定条件下（①极点与原点重合；②极轴与轴正半轴重合；③长度单位相同），平面上一个点的极坐标和直角坐标有如下关系：　　直角坐标化极坐标：；　　极坐标化直角坐标：.　　此即在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系.4. 直线的极坐标方程：　　（1）过极点倾斜角为的直线：或写成及. 　　（2）过垂直于极轴的直线：5. 圆的极坐标方程：　　（1）以极点为圆心，为半径的圆：. 　　（2）若，，以为直径的圆：知识点二：柱坐标系与球坐标系：与柱坐标之间的变换公式：2. 球坐标系的定义：　　空间点与球坐标之间的变换公式：知识点三：参数方程都是某个变数的函数：　　，并且对于的每一个允许值，方程所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系间的关系的变数叫做参变数（简称参数）.　　相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程。 知识点四：常见曲线的参数方程，倾斜角为的直线的参数方程为：　　　 　（为参数）；　　其中参数的几何意义：，有，即表示直线上任一点M到定点的距离。（当在上方时，，在下方时，)。　　 　　 　　（2）过定点，且其斜率为的直线的参数方程为：　 　　　（为参数，为为常数，）；　　　　其中的几何意义为：若是直线上一点，则。2．圆的参数方程　　（1）已知圆心为，半径为的圆的参数方程为：　　　 　（是参数，）；　　　　 特别地当圆心在原点时，其参数方程为（是参数）。　 　　（2）参数的几何意义为：由轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。　　　　 　　　　　（3）圆的标准方程明确地指出圆心和半径，圆的一般方程突出方程形式上的特点，圆的参数方程则直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。3. 椭圆的参数方程　　（1）椭圆（）的参数方程（为参数）。　　（2）参数的几何意义是椭圆上某一点的离心角。　　　　 如图中，点对应的角为（过作轴，　　　　 交大圆即以为直径的圆于），切不可认为是。　　（3）从数的角度理解，椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。　　　　 椭圆上任意一点可设成，　　　　 为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。4. 双曲线的参数方程　　双曲线（,）的参数方程为（为参数）。　5. 抛物线的参数方程　　抛物线()的参数方程为（是参数）。　　参数的几何意义为：抛物线上一点与其顶点连线的斜率的倒数，即。6. 圆的渐开线与摆线的参数方程：　　（1）圆的渐开线的参数方程（是参数）；　　（2）摆线的参数方程　 （是参数）。规律方法指导：的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。经典例题精析1．在极坐标系中，点关于极点的对称点的坐标是_____ ，关于极轴的对称点的坐标是_____，关于直线的对称点的坐标是_______，　　思路点拨:画出极坐标系，结合图形容易确定。　　解析：它们依次是或；；（）.　　 　　　示意图如下：　　总结升华：应用数形结合，抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系，同时应注意点的极坐标的多值性。　　举一反三：　　【变式】已知点，则点　　　　　 （1）关于对称点的坐标是_______，　　　　　 （2）关于直线的对称点的坐标为________　 。　　【答案】　　(1) 由图知：,，所以；　　(2) 直线即，所以或（）　　2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程，并说明它是什么曲线。　　(1) ；　　　 　(2) ；　　(3) ；　　　 　(4) .　　思路点拨:依据关系式，对已有方程进行变形、配凑。　　解析：　　（1）方程变形为, 　　 　　　∴或，即或，　　　　 故原方程表示圆心在原点半径分别为1和4的两个圆。