北京师大附中学高数学上学期期中考试试题.docVIP

北京市师大附中2011-2012学年上学期高一年级期中考试数学试卷 （满分150分，考试时间120分钟） 第Ⅰ卷（模块卷） 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 1. 设全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 给定映射：，在映射下（3，1）的原象为（ ） A. （1，3） B. （1，1） C. （3，1） D. （） 3. 下列函数中是偶函数且在（0，1）上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则三者的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4） 6. 若函数是函数（，且）的反函数，其图象经过点，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数（ ） A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数又不是偶函数 8. 已知实数且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 9. 10. 函数的定义域是 11. 已知幂函数的图象过点，则 12. 设是定义在R上的奇函数，且满足，则 13. 有下列命题： ①函数与的图象关于轴对称； ②若函数，则函数的最小值为－2； ③若函数在上单调递增，则； ④若是上的减函数，则的取值范围是。其中正确命题的序号是 。 三、解答题：本大题共3小题，共35分。要求写出必要演算或推理过程。 14. 已知集合，集合，求。 15. 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元。 （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 16. 已知：且， （1）求的取值范围； （2）求函数的最大值和最小值。 第Ⅱ卷（综合卷） 四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分。 17. 若函数的定义域为，值域为，则m的取值范围是 18. 已知是实数，若函数在区间上恰好有一个零点，则的取值范围 19. 已知函数的定义域是，则函数的定义域为 五、解答题：本大题共3小题，共38分。要求写出必要演算或推理过程 20. 已知是定义在上的增函数，且满足，。 （1）求 （2）求不等式的解集 21. 已知定义在R上的函数是奇函数 （1）求的值； （2）判断的单调性，并用单调性定义证明； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 22. 设二次函数的图象以轴为对称轴，已知，而且若点在的图象上，则点在函数的图象上 （1）求的解析式 （2）设，问是否存在实数，使在内是减函数，在内是增函数。【试题答案】 一、选择题 1-5 BBDCB 6-8 BAA 二、填空题 9. 3； 10. ； 11. ； 12. 0； 13. 三、解答题 14. 解：由 则 ∴ 由 ∴ ∴∩ 15. 解：（1）当每辆月租金为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆。 （2）设每辆车的月租金定为元，则公司月收益为 整理得： ∴当时，最大，最大值为元 16. 解：（1）由得，由得 ∴ （2）由（1）得 ∴。 当，，当， 四、填空题： 17. ； 18. 或； 19. 五、解答题： 20. 解：（1）由题意得 又∵ ∴ （2）不等式化为 ∵是上的增函数 ∴解得 21. 解：（1）∵是定义在R上的奇函数，∴，∴ 2分 ， ∴即对一切实数都成立， ∴∴ （2），在R上是减函数 证明：设且 则 ∵，∴，，， ∴，，∴在R上是减函数 不等式 又是R上的减函数，∴ ∴对恒成立 ∴ 22. 解（1）。 （2）由（1）可得。 设， 则 要使在内减函数，只需，但，故只要，所以，然而当，，在内是减函数。 同理，当时，在内是增函数。 综上讨论，存在唯一的实数，使得对应的满足要求。