十六讲坐标系与参数方程.docVIP

第二十六讲坐标系与参数方程 1、 自觉运用坐标法解几何题 练习：（1）用坐标法证明三角形的三条高交于一点，（2）在已知三角形所在的平面内找一点，使它到各顶点的距离的平方和最小。 平面直角坐标系中的伸缩变换：（1） （2）将y=f（x）的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到 即　　 （3）直线、双曲线、抛物线通过伸缩变换后仍分别为直线、双曲线、抛物线。但可以改变直线的倾斜角，双曲线的离心率、抛物线的开口大小及它们的位置。圆和椭圆可以通过伸缩变换进行转化。 3、 极坐标系： 极坐标系是用距离和角来表示平面上的点的位置的坐标系，它由极点O与极轴Ox组成。对于平面内任一点P，若设(OP(=(（(0），以Ox为始边，OP为终边的角为(，则点P可用有序数对（(，(）表示，（由于角(表示方法的多样性，故（(，(）的形式不唯一，即一个点的极坐标有多种表达形式）。对于极点O，其极坐标为（0，(），(为任意值，但一般取(=0，即极点的极坐标为（0，0）。 4、. 极坐标与直角坐标的互化： 互化的前提条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。 设点P的直角坐标为（x，y），它的极坐标为（(，(），则 若把直角坐标化为极坐标，求极角(时，应注意判断点P所在的象限（即角(的终边的位置），以便正确地求出角(。 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。 5.四类直线的极坐标方程： （1）直线过极点且倾斜角为： （2）直线过点且垂直于极轴： （3）直线过且平行于极轴： （4）若直线过点，且极轴到此直线的角为，则它的方程为： 6、几个特殊位置的圆的极坐标方程： （1）当圆心位于极点：， （2）当圆心位于： （3）当圆心位于： （4）若圆心为，半径为r的圆方程为： 7、 利用圆锥曲线的极坐标方程可以简捷地解决与焦点弦、焦半径有关的问题。 柱坐标系与球坐标系： 如图在空间直角坐标系O－xyz内，设P产空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用 表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时P点的位置可用有序实数组表示，这样建立了空间的点与有序实数组之间的一种对应关系。上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序实数组叫柱坐标。 柱坐标系又称半极坐标系。 如图中设OP与Oz轴正方向的夹角为，则P点的位置可用有序实数组表示，这种对应的坐标系叫球坐标系，叫球坐标。称被测点的方位角，称为高低角。球坐标系又叫空间极坐标系。 9、参数方程与普通方程的区别与联系： 在求曲线的方程时，一般地需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x，y之间满足的等量关系F（x，y）＝0，这样得到的方程F（x，y）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x，y的方程F（x，y）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x，y间接地联系起来，此时可得到方程组 显然，参数方程与普通方程的最明显的区别是其方程形式上的区别，更大的区别是普通方程反映了曲线上任一点坐标x，y的直接关系，而参数方程则反映了x，y的间接关系。 尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但他们之间又有着密切的联系，这种联系表现在两方面：（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程。需要注意的是，在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线的）等价性，即注意参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。 实质上，参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量。参数法在求曲线的轨迹方程，以及研究某些最值问题时是一种常用的甚至是简捷的解题方法。 10、 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法。要注意整体代入法及参数的取值范围对x，y的取值范围的影响。 11、 化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)（或y=((t)），再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=((t)（或x=f(t)）。一般地，常选择的参数有角（如圆、椭圆、双曲线）、有向线段的数量（如直线）、斜率（抛物线是以斜率的倒数为参数），某一点的横坐标（或纵坐标）。 12. 常见曲线的参数方程的一般形式： （1）经过点P0（x0，y0），倾斜角为(的直线的参数方程为 称为直线的标准参数方程。 经过点P0（x0，y0），以为方向向量的直线