十讲圆锥曲线与方程.docVIP

第十九讲圆锥曲线与方程 一、曲线与方程 （一）曲线与方程的概念：在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0上的实数解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点；那么，这个方程叫曲线的方程；这条曲线叫方程的曲线。 练习：（1） （二）求曲线方程（求轨迹）的几种常用方法： 1、直接法：直接用动点P（x，y）的坐标表示等量关系，化简得轨迹方程。一般步骤是：①建立适当的直角坐标系，用（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标；如果题中出现了点的坐标或方程表示已经建立了坐标系。②列出点 M适合条件的几何等量关系；③用坐标表示列出方程f(x,y)=0，④化方程f(x,y)=0为最简形式；⑤证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。一般情况下，化简前后的方程的解是相同的，步骤⑤可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明，另外，根据情况，也可以省略步骤②直接列出直线方程。 例1：三角形ABC的顶点A固定，点A的对边BC的长为2a,边BC上的高线长为b，边BC沿一条定直线移动，求三角形ABC外心的轨迹方程。 分析：以BC边所在的直线为x轴，过A点且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系,则B（0，b），设外心M（x,y），则|MA|＝|MB|，B（x-a,0）,x-2by+b-a=0 定义法：通过圆锥曲线（或已知曲线）定义确定轨迹性质，进而求得方程。 例2、(1)由动点P向圆作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为 （2）点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_____ (3) 一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为 。双曲线的左支上。注：都内切时，得到该双曲线的右支。若与前者内切，与后者外切时，得到双曲线的左支，若与前者外切，与后者内切时，得到双曲线的右支， （4）、 3、相关点代入法：当动点P（x，y）与已知曲线上动点P1（x1，y1）相关时，用x，y表示x1，y1，再代入已知曲线方程，求得轨迹方程。 例3：（1）动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________ 若点在圆上运动，则点的轨迹方程是____ 例4、设O为平面直角坐标系的原点，已知定点A（3,0），动点B在曲线x+y=1上运动，∠AOB的平分线交AB于点M，求动点M的轨迹方程。 分析：当轨迹上的点的坐标难以直接建立关系时，且已知轨迹上的点的坐标受已知曲线上的某一动点的坐标的影响，可用相关点代入法。本题可用角平分线定理和相关点代入法。 （4x-3）+16y=9 4、交轨法：已知所求曲线是某两条曲线的交点可通过解方程组而得。（常与参数法相结合。） 例5、已知直线L1过A（－2,0），直线L2过B（2,0），且L1与L2分别绕A，B旋转，它们在y轴上截距分别为，其中，试求L1与L2交点的轨迹方程。 5、参数法。先选定某个变量作为参数，再找出曲线上的点的横坐标、纵坐标与参数的关系式，然后再消去参数。 例6、已知常数，在矩形ABCD中，，，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图），问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由 根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设 由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak） 直线OF的方程为：① 直线GE的方程为：② 从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程 整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长 当时，点P到椭圆两个焦点（的距离之和为定值 当时，点P 到椭圆两个焦点（0， 的距离之和为定值2. 本题是交轨法与参数法的例子。 例7、（本例是情侣圆锥曲线的求法） 本题是相关点代入法和交轨法相结合。 6、待定系数法：已知曲线方程的类型，可先设出曲线方程的形式，然后求出有关的系数。 例8、 二、椭圆： 1、椭圆的定义1： ，F，F为两定点即焦点。定义2： 2、椭圆的标准方程：焦点在x轴上时： （a﹥b﹥0）,焦点F（c，0）, 准线方程为x=,-a≤x≤a,-b≤y≤b, 当焦点在y轴上时，标准方程为＝1（a﹥b﹥0）,焦点F（0，c），准线方程为y=, 3、椭圆焦点三角形：（1）设P为椭圆，上任意一点