十讲空间解析几何.docVIP

泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称 高等数学 授课对象 授课题目 第十讲　空间解析几何中的问题 课时数 2 教学 目的 通过教学让学生掌握向量的基本概念，向量的数量积，向量的向量积，平面及其方程，直线及其方程，常用二次曲面的方程及其图形，常用二次曲面的方程及其图形 重 点 难 点 重点：向量的数量积，向量的向量积，平面方程，直线方程 难点：常用二次曲线、二次曲面的方程及其图形. 教 学 提 纲 第十讲　空间解析几何中的问题 一、向量的基本概念 二、两向量的数量积 三、两向量的向量积 四、平面及其方程 五、直线及其方程 六、常用二次曲面的方程及其图形 七、常用二次曲面的方程及其图形 教学过程与内容 教学后记 第十讲　空间解析几何中的问题 一、向量的基本概念 （１）坐标系 （２）两点间的距离公式 （３）向量的坐标表示 （４）向量的长度 向量的单位化 （５）向量的方向 二、两向量的数量积 （１） （２） （６）：、为向量，作向量使得： 垂直于所确定的平面，指向按右手法则 （２） （３）应用 　　１）利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量； 　　２） 四、平面及其方程 （１）已知平面(过点M0（x0、y0、z0），为(的法矢量。 1）点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0； 2）一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零； （２）平面间的位置关系 1）两平面垂直：⊥ ⊥； 2）两平面平行：∥ ∥。 3）平面间的夹角（常指锐角）：。（３）点到平面的距离 点M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为 五、直线及其方程 （１）空间直线的对称式方程和点向式方程 （=t） 当m=0时，则方程的点向式记为： （２）直线的一般方程为 （３）两直线的夹角 （4) 直线与平面的夹角 六、常用二次曲面的方程及其图形 1、球面 ： 2、椭球面 3、旋转曲面 设L是x0z平面上一条曲线，L绕z旋转一周所 得旋转曲面： 得 例 例： 称为旋转抛物面 旋转双曲面：，(单) 4、椭圆抛物面 5、单叶双曲面 6、双叶双曲面 7、二次锥面 圆锥面 物柱面 （8）柱面 七、常用二次曲面的方程及其图形 （1）空间曲线C可看作空间两曲面的交线. (2)空间曲线的参数方程 (3)空间曲线在坐标面上的投影 消去ｚ的方程 曲线关于面投影柱面 　　　　曲线关于面投影为 例１：已知曲线，求曲线距离面最远的点和最近的点. 【分析】曲线上一点到面的距离为，但把目标函数设为，不便于计算，因而常把目标函数设为，把两个方程看成约束条件使用拉格朗人数乘法求解即可。 【解】 由前两个方程知，代入后两个方程知求的解 最远的点和最近的点. 例２：椭球面是椭圆绕X轴旋转而成，圆锥面是由过点（4, 0）且与椭圆相切的直线绕X轴旋转而成。 （Ⅰ）求和的方程； （Ⅱ）求和之间的立体体积。 【分析】设L是平面上一条曲线，L绕旋转一周所 得旋转曲面为 【解】 设过点（4,0）与椭圆相切的直线方程为 设切点为，则，又 得，上方切线为 　 例３：设为椭球面S:的动点，若S在处的切平面与面垂直。 求点Ｐ的轨迹Ｃ； 计算，其中为椭球面位于Ｃ上方的部分。