十线性规划的单纯形算法.docVIP

第十三章 单纯形法 13.1 单纯形法原理 求解线性规划的单纯形方法（Simplex Method）是美国G·D·Dantzig在1947年提出来的，是一种有效的实用算法。 单纯形法是根据线性规划的基本原理，在基可行解上进行迭代的一种算法。此方法的特点是：将线性规划化为标准形，从一个初始基可行解开始迭代，使之改进得到另一个基可行解。每迭代一次，目标函数值绝不会变小（对 max 问题），如果非退化，目标函数值就严格增大。若有最优解，经有限次迭代就得到基本最优解。 标准形式线性规划问题求解的主要途径是通过枢轴运算把约束方程组变为典范型来进行的。这个过程实质上就是古典的高斯-约当消去法求解线性规划的过程。 下列运算可以将一组线性方程变换为另一组等价的线性方程。 ①将一个方程乘上一个常数k（k≠0） ②将方程用替换 这样的运算称为线性方程组的初等变换，或称为基本行运算。下面分别说明枢轴运算（Pivot Operation）和典范型（Canonical form） 13.1.1 枢轴运算 枢轴运算就是通过一系列的基本行运算，使某一选定的变量在方程组的某一方程中系数是1，而这个变量在其他方程中的系数均为0. 具体步骤是： ①在方程Er的s列中选取arsxs作为枢轴元素，条件是枢轴元素所在的行称为枢轴行，枢轴元素所在的列称为枢轴列。 ②将方程Er除以 ，使枢轴元素系数为1。 ③对方程以外的方程，用来代替 。 例13.1.1：在下列方程组中对变量进行枢轴运算： 解： ①选中2,为枢轴项 ②将除以2化为： ③对进行基本运算：即以代替 得： ④对进行基本运算：即以代替得： 13.1.2 典范型线性方程组 对n个变量m个方程的线性方程组可以通过对各个基变量逐一进行枢轴运算，将这m 个基变量的系数距阵变换成m ×m单位阵。这样的等价线性方程组就是典范型线性方程组。 这样就可以直接求出一个基本解： 如果常数项均非负，则得到的就是基本可行解。 用矩阵符号表示就是：约束方程为： 变量分成基变量和非基变量两部分,系数距阵中相应分成B和N两块。 即A=（B;N） 则约束方程组可以写成： 左乘以得： 即 当非基变量取0时，则基变量的解为 由于基本解最多有个，因而基可行解也不超过个。 如果全部的基可行解找出来了，就有可能求出最优基本解。但这样做是不能实现的。单纯形法（Simplex Method）就是沿一个初始基可行解出发，找出下一个更优的基可行解，而不找所有的基可行解。 13.1.3 单纯形法的一般步骤 ① 如果线性规划问题存在可行解，就可以找出一个基可行解，作为初始可行解。 ② 为寻找基可行解，约束方程组以典范型方程组表示。 ③ 如果线性规划问题不存在可行解（约束条件有矛盾）则由找基可行解的过程可以得知问题无解。 ④ 以①中找到的基可行解为起点，找出具有较佳目标值的另一基可行解。这一步骤称为迭代。 ⑤ 重复④。直到目标函数再也不能改善，就得到问题最优解。 ⑥ 若问题的最优解是无界的，在迭代过程中就可以知道问题有无穷解，终止迭代。 例13.1.2： 求解 s.t 解：这是一个标准形线性规划问题，可以化为等价的典范型方程组： 令，由上述典范型方程组直接得到一个基本解。显然这个基本解是可行解。相应目标函数值为 现在要判断一下这个目标函数的值是否能改进，故换基变量就可能获得另一个基本可行解和相应的目标函数值。这样可用或来取代或成为基变量，因此目前的基本可行解有许多相邻的基本可行解。 单纯形法就是在得到一个基本可行解后，在它的相邻基可行解中选取能使目标函数值最大程度改进的基本可行解。 选取的原则是看哪一个非基变量改为基变量后能够使目标函数有更多的改进。具体地，可以在满足方程组的情况下，分别将各非基变量增加一个单位。比较目标值由此发生的变化，从而选取能使目标函数值有最大增加的非基变量作为新的基变量。 相应的目标值为： 现在考虑非基变量，假定 增加一个单位，而其余的非基变量暂不考虑，仍为0。则约束方程可表示为： 由第一个方程可见，由0↑1，则由10↓8。 由第二个方程可见，由0↑1，则由6↓3。 因此在满足上述方程组的条件下，增加1得到新可行解为： 相应的目标值为： 所以 x3 增加1个单位，目标函数z的变化值为： z的旧值 - z的新值=22-（25）= -3 称这个值为非基变量x3 的检验值（判别数）。因为可以用它来判别把x3 改为基变量后，能否改进目标值。 这个检验数的绝对值有时也称为相对收益系数。 由于检验数为负，增加x3可以增加目标函数值。这证明目前的基可行解不是最优解，如将x3改为基变量就可以改进目标值。 类似的可以算 4, 的检验数。 比较所得到的几个