十非线性回归分析.docVIP

第十二章 非线性回归分析 第一节 可化为直线回归的非线性回归 有些形式的曲线可以采用适当的数据转换方法转化为直线，从而用直线回归的方法来分析。 一、 指数曲线 当α0时其曲线形状见图12.1。 对公式(12.1)取导数 可知随着x的增加，β0的曲线的绝对生长速度越来越快，而β0的曲线的衰减速度越来越慢 。 再对公式（12.1）取二阶导数 因此β是生长或衰减的加速度，又称相对生长率或相对衰减率，是固定不变的。 指数曲线的回归分析模型为 ： 要求ε相互独立且服从同一对数正态分布。令 并用直线回归分析的方法解得α和β的估计值 从而建立指数曲线回归方程 〔例12.1〕棉花红铃虫的产卵数（y，粒/头）与温度（x，℃）有关，调查结果见表12.1，试作回归分析。 表12.1 棉花红铃虫温度x(℃)与产卵数y(粒/头)的调查结果 解：首先作调查数据的散点图（图12.2） 将y做对数转换， 根据表12.1中的x与y’可求得 图12.2 棉花红铃虫温度x与产卵数y的散点图 据此建立指数曲线回归方程 回归方程的显著性检验 ，选用相关系数检验法。 查r0.01(5)=0.874，|r|＝0.99260.874，因此指数曲线回归关系在0.01水平上显著（实际P＝9.01×10－6）。 带常数的指数函数 当β0时其曲线见图12.3。其中，α0的曲线经常用来描述孵化过程，又称孵化曲线。 由于是3参数曲线，所以要先求K值。选3个等距的x值所对应的y值，有 然后作数据转换 y’=ln(y-K), a’=lna y’=ln(y-K), a’=lna (12.8)即可将其线性化并估计a和b值了 其图形见图12.4。 幂函数曲线常用于描述体积、重量等倍数性资料的变化规律。采用与指数曲线回归模型类似的方法，令y’=lny, x’=lnx, a’=lna，(’=ln( (12.10)即可将幂函数曲线回归模型线性化 从而建立幂函数曲线回归方程 〔例12.2〕玉米杂交种四单19的果穗直径(x，cm)与穗粒重(y，g)间的关系如表12.2，试作回归分析。 表12.2 玉米果穗直径x(cm)和穗粒重y(g)的调查数据 图12.5 玉米果穗直径x和穗粒重y的散点图(左)和对数散点图(右) 解：从调查数据的散点图（图12.5）中可以看出x与y之间呈一种中间略下凹的曲线关系，x’与y’之间呈直线关系，因此作幂函数曲线回归分析。由表12.2可求得 查r0.01(6)=0.834，|r|=0.99220.834，因此幂函数曲线回归关系在0.01水平上显著(实际P＝1.26×10－6)，可建立幂函数曲线回归方程： 其图形也见图12.5，不同的x值对应的 值见表12.2。 本例也可作直线回归和指数曲线回归分析，结果均极为显著。 还可能求出其它也显著的曲线形式。实践中通常不存在支持某种曲线形式的绝对依据，选择合适的曲线形式的考虑之一是所研究问题的生物学意义。如温度或时间与生长量的关系一般应选用指数曲线，而直径或长度与重量或体积的关系一般可选用幂函数曲线等。 考虑之二是曲线的显著性。可根据散点图的特征试配几种不同的曲线，从中选择显著程度最高或较高的。本例从散点图看可配合直线、指数曲线和幂函数曲线，显著程度相差不多，但以幂函数曲线的生物学意义最为吻合，因此较合适。 三、 对称S形曲线回归 许多害虫的日发生量在暴发期以前逐日增加，过了暴发期又逐日减少，基本上是对称的，接近正态分布。因此其累积发生量就成为上下对称的S形曲线，与正态累积函数曲线差不多，见图12.6。 图12.6 对称S形曲线 以y为累积发生量，x为日期并令 可将此对称S形曲线转换为线性并估计a和b了。 y’一般称为概率单位，可由概率单位表中查出。由回归方程求得 后也可从该表中反查出。 〔例12.3〕江苏东台县测定了1972年越冬代棉红铃虫不同时期（x，以5月31日为0）的化蛹进度（y，％）结果见表12.3，试作回归分析。 表12.3 棉红铃虫不同时期x(以5月31日为0)的化蛹进度y(%) 图12.7 棉红铃虫不同时期x和化蛹进度y的散点图 解：从散点图（图12.7）中看出x与y基本上呈对称的S形曲线关系，将y转换为概率单位y’后与x呈直线关系，因此作x与y’的直线回归分析。 查r0.01(8)=0.765，|r|=0.99830.765，因此回归关系在0.01水平上显著(实际P＝3.64×10－11)，也即有概率单位y’与日期x间的直线回归方程 成立。将各x值代入回归方程求出同 并反查出值列于表12.3的最后两列，可见吻合