单元变量分离的方程.docVIP

第6单元 变量分离方程 ??? （2.2.1） 若函数均可分别表示为的函数与的函数的乘积，则称（2.2.1）为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式： （2.2.2） 变量分离的方程的特点是：可以分别表示为的函数与的函数的乘积. 问题是：对（2.2.2）如何求解？ 一般来说，（2.2.2）不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形： （2.2.3） （2.2.3）显然是一个恰当方程，它的通积分为 （2.2.4） 由对方程（2.2.3）的求解过程，不难想到，当时，若用因子去除（2.2.2）式的两侧，得到 （2.2.5） 这种变形过程叫做分离变量。分离变量后的方程（2.2.5）已具有（2.2.3）的形式，故通积分为 （2.2.6） 附注1：当时，用求解方程（2.2.5）来代替求解方程（2.2.2）是合理的，因为此时方程（2.2.2）与方程（2.2.5）是同解的. 附注2：若（或）是方程（或）的一个根，把它代入（2.2.2）式验证，可知（或）是方程（2.2.2）的解.这个解一般会在由（2.2.2）化为（2.2.5）时丢失,故有时不包含在通积分（2.2.6）中，必须补上. 例1 求解微分方程 （2.2.7） 解 当时，方程（2.2.7）可改写为等价的方程 ， 积分得 ， 即 ， 亦即 （2.2.8） 其中.显然都是方程的解.若允许（2.2.8）中的可取零值，则特解可含于（2.2.8）中.因此方程（2.2.7）的通积分为 ， 其中为任意常数； 外加特解. 例2 求微分方程的通解. 解 当时，分离变量得，等式两端积分得 ， ， 方程的通解为 。 显然即是原方程的解，而此解可在通解中令得到. 例3 求下列微分方程的所有常数解： （1）； （2）： （3）。 解 （1）由，得；由，得。所以方程的所有常数解为。 （2）由，得，，所以方程的所有常数解为，。 （3）由，得，，所以方程的所有常数解为，。 例4 求解微分方程 （2.2.9） 并作出积分曲线族的图形. 解 当时，将（2.2.9）改写为，两边积分，得 ， （）， 或 ， （） （2.2.10） 最后，还有特解，它不包含在（2.2.10）之中. 利用方程（2.2.9）并参照通积分（2.2.10），可以作出积分曲线族的图形。 由图形不难看出，过轴上的每一点，都有无穷多条积分曲线通过.很显然每一条这样的积分曲线都由两部分拼合而成：左半部分是与轴重合的直线段，右半部分可以是轴，也可以是向上或向下延伸的半立方抛物线.左右两部分在接合点相切. 总之，微分方程（2.2.9）满足初值条件的解，当时是局部唯一的；而当时是局部不唯一的. 我们把变量分离的方程的求解方法叫做变量分离法.变量分离法是解一阶方程的基础方法,对于一个微分方程能否用分离变量法求解,关键在于寻找把它转化为可分离变量方程的途径. 1．求解下列微分方程： （1） ； 解 分离变量，得 ， 积分后得通积分 ， 故通解为 . （2） ； 解 分离变量，得 ， 积分后得通积分 . 此外由可求得特解. （3） ； 解 分离变量，得 ， 积分后得通积分 . 此外还有特解. （4） . 解 分离变量，得 ， 积分后得通积分 . 2．求解下列微分方程的初值问题： （1），； 解 将方程改写为 ，积分后得通积分 . 由初值条件，得. 所以初值问题的解为. （2） ，； 解 分离变量，得 ， 积分后得通积分 . 由初值条件，得. 所以初值问题的解为 . （3），； 解 将方程改写为 ， 积分后得通积分 . 由初值条件，得. 所以初值问题的解为 .